2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 10:43 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Тривиальное замечание, но может оказаться неожиданным.

Изображение

Тонкий обруч массы $M$ может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, на обруч надето маленькое колечко массы $m>0$, которое свободно скользит по обручу.

Что представляет собой конфигурационное пространство данной системы? Если $M>0$ то это тор $\mathbb{T}^2$; если $M=0$ то двумерная сфера $\mathbb{S}^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 11:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ещё более тривиальное замечание, которое может оказаться ещё более неожиданным.
В случае, если $M=0,$ если покрасить правую или левую половину обруча, конфигурационное пространство внезапно удваивается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 12:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Тут возникают два вопроса.

1) Чем не нравится $\mathbb{T}^2$ при $M=0$? Ответ: тем, что тогда квадратичная форма кинетической энергии будет вырождаться при $m$ в самом верхнем/нижнем положении

2) Как рассмотреть случай $M\to 0$ (т.е. асимптотику решения)

Не говоря уже о третьем вопросе : квантовании для всех $M\ge 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 13:29 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Red_Herring в сообщении #1376587 писал(а):
Чем не нравится $\mathbb{T}^2$ при $M=0$? Ответ: тем, что тогда квадратичная форма кинетической энергии будет вырождаться при $m$ в самом верхнем/нижнем положении


Это так, однако определение конфигурационного многообразия не ссылается на кинетическую энергию.
Red_Herring в сообщении #1376587 писал(а):
Как рассмотреть случай $M\to 0$ (т.е. асимптотику решения)


Думаю, что ни как. Пусть силы тяжести нет. В каждом гомотопическом классе замкнутых кривых на торе имеется траектория нашей системы. Т.е. имеется периодическое решение , такое, что за период точка $m$ 10 раз прокручивается по обручу, а сам обруч прокручивается 13 раз. Что соответствует этому решению в задаче о движении точки по сфере по инерции ? Думаю, ничего не соответствует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 13:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
pogulyat_vyshel в сообщении #1376591 писал(а):
Что соответствует этому решению в задаче о движении точки по сфере по инерции ? Думаю, ничего не соответствует.

Точка $m$ может 10 раз прокрутиться по обручу, проходя через верхние и нижние положения, а в моменты прохождения этих положений обруч может за нулевое время совершить недостающие полуобороты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1376591 писал(а):
Это так, однако определение конфигурационного многообразия не ссылается на кинетическую энергию.
Разумеется, но нужна мотивировка, почему мы не используем тор при $M=0$.

-- 17.02.2019, 05:43 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1376591 писал(а):
Что соответствует этому решению в задаче о движении точки по сфере по инерции ?
Я имел в виду нечто другое: при $M>0$ конфигурационное пространство это тор. Как на этом торе ведет себя соответствующая траектория при малом, но ненулевом $M$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 13:48 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Red_Herring в сообщении #1376587 писал(а):
тем, что тогда квадратичная форма кинетической энергии будет вырождаться при $m$ в самом верхнем/нижнем положении
... а такое вырождение указывает на наличие связей, а эти связи приводят к превращению тора в сферу. Я правильно понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
warlock66613 в сообщении #1376597 писал(а):
... а такое вырождение указывает на наличие связей, а эти связи приводят к превращению тора в сферу. Я правильно понял?
думаю, то нет: какие связи вдруг появляются при $M=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 14:00 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Вырождение пожет быть вызвано тем, что в данной точке просто неопределены данные локальные координаты. Сменим локальные координаты и вырождение пропадет

-- 17.02.2019, 15:06 --

Хотя конечно сравнивать локальные координаты и метрики на разных многообразиях -- странное занятие

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Кинетическая энергия:
$$
c_1 m (\dot{\theta}^2 + \sin^2(\theta)\dot{\phi}^2) + c_2 M \dot{\phi}^2
$$
с положительными $c_1,c_2$, $\theta,\phi $ циклические с периодом $2\pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 14:13 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Метрика кинетической энергии задачи на сфере невырождена и метрика кинетической энергии задачи на торе невырождена. Просто это разные метрики на разных многообразиях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Всё больше и больше впечатление, что вот это
банально неправда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 15:31 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Red_Herring в сообщении #1376602 писал(а):
какие связи вдруг появляются при $M=0$?
Действительно, проверил - не появляются.

Тогда я понимаю так: при $\theta = 0$ скорость вращения обруча становится бесконечной, соответственно значение $\varphi$ теряет смысл. В этом суть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
warlock66613 в сообщении #1376614 писал(а):
Тогда я понимаю так: при $\theta = 0$ скорость вращения обруча становится бесконечной, соответственно значение $\varphi $ теряет смысл. В этом суть?
И при $\theta=\pi$. Речь идет о случае $M=0$. При $M>0$ такого не происходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 17:08 


12/05/07
566
г. Уфа
Munin в сообщении #1376610 писал(а):
Всё больше и больше впечатление, что если $M=0$, то конфигурационное пространство - двумерная сфера $\mathbb{S}^2$, - банально неправда.
Ну как же? Все положения точки, движущейся по окружности, которая может вращаться вокруг вертикальной оси, сохраняя неподвижным центр окружности, - это в точности сфера $\mathbb{S}^2$. Никакие ограничения не стесняют движение точки по этой сфере.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: worm2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group