2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 10:43 
Аватара пользователя


31/08/17
1478
Тривиальное замечание, но может оказаться неожиданным.

Изображение

Тонкий обруч массы $M$ может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, на обруч надето маленькое колечко массы $m>0$, которое свободно скользит по обручу.

Что представляет собой конфигурационное пространство данной системы? Если $M>0$ то это тор $\mathbb{T}^2$; если $M=0$ то двумерная сфера $\mathbb{S}^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 11:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70085
Ещё более тривиальное замечание, которое может оказаться ещё более неожиданным.
В случае, если $M=0,$ если покрасить правую или левую половину обруча, конфигурационное пространство внезапно удваивается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 12:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9127
Hogtown
Тут возникают два вопроса.

1) Чем не нравится $\mathbb{T}^2$ при $M=0$? Ответ: тем, что тогда квадратичная форма кинетической энергии будет вырождаться при $m$ в самом верхнем/нижнем положении

2) Как рассмотреть случай $M\to 0$ (т.е. асимптотику решения)

Не говоря уже о третьем вопросе : квантовании для всех $M\ge 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 13:29 
Аватара пользователя


31/08/17
1478
Red_Herring в сообщении #1376587 писал(а):
Чем не нравится $\mathbb{T}^2$ при $M=0$? Ответ: тем, что тогда квадратичная форма кинетической энергии будет вырождаться при $m$ в самом верхнем/нижнем положении


Это так, однако определение конфигурационного многообразия не ссылается на кинетическую энергию.
Red_Herring в сообщении #1376587 писал(а):
Как рассмотреть случай $M\to 0$ (т.е. асимптотику решения)


Думаю, что ни как. Пусть силы тяжести нет. В каждом гомотопическом классе замкнутых кривых на торе имеется траектория нашей системы. Т.е. имеется периодическое решение , такое, что за период точка $m$ 10 раз прокручивается по обручу, а сам обруч прокручивается 13 раз. Что соответствует этому решению в задаче о движении точки по сфере по инерции ? Думаю, ничего не соответствует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 13:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70085
pogulyat_vyshel в сообщении #1376591 писал(а):
Что соответствует этому решению в задаче о движении точки по сфере по инерции ? Думаю, ничего не соответствует.

Точка $m$ может 10 раз прокрутиться по обручу, проходя через верхние и нижние положения, а в моменты прохождения этих положений обруч может за нулевое время совершить недостающие полуобороты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9127
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1376591 писал(а):
Это так, однако определение конфигурационного многообразия не ссылается на кинетическую энергию.
Разумеется, но нужна мотивировка, почему мы не используем тор при $M=0$.

-- 17.02.2019, 05:43 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1376591 писал(а):
Что соответствует этому решению в задаче о движении точки по сфере по инерции ?
Я имел в виду нечто другое: при $M>0$ конфигурационное пространство это тор. Как на этом торе ведет себя соответствующая траектория при малом, но ненулевом $M$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5610
Red_Herring в сообщении #1376587 писал(а):
тем, что тогда квадратичная форма кинетической энергии будет вырождаться при $m$ в самом верхнем/нижнем положении
... а такое вырождение указывает на наличие связей, а эти связи приводят к превращению тора в сферу. Я правильно понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9127
Hogtown
warlock66613 в сообщении #1376597 писал(а):
... а такое вырождение указывает на наличие связей, а эти связи приводят к превращению тора в сферу. Я правильно понял?
думаю, то нет: какие связи вдруг появляются при $M=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 14:00 
Аватара пользователя


31/08/17
1478
Вырождение пожет быть вызвано тем, что в данной точке просто неопределены данные локальные координаты. Сменим локальные координаты и вырождение пропадет

-- 17.02.2019, 15:06 --

Хотя конечно сравнивать локальные координаты и метрики на разных многообразиях -- странное занятие

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9127
Hogtown
Кинетическая энергия:
$$
c_1 m (\dot{\theta}^2 + \sin^2(\theta)\dot{\phi}^2) + c_2 M \dot{\phi}^2
$$
с положительными $c_1,c_2$, $\theta,\phi $ циклические с периодом $2\pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 14:13 
Аватара пользователя


31/08/17
1478
Метрика кинетической энергии задачи на сфере невырождена и метрика кинетической энергии задачи на торе невырождена. Просто это разные метрики на разных многообразиях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70085
Всё больше и больше впечатление, что вот это
банально неправда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 15:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5610
Red_Herring в сообщении #1376602 писал(а):
какие связи вдруг появляются при $M=0$?
Действительно, проверил - не появляются.

Тогда я понимаю так: при $\theta = 0$ скорость вращения обруча становится бесконечной, соответственно значение $\varphi$ теряет смысл. В этом суть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 15:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9127
Hogtown
warlock66613 в сообщении #1376614 писал(а):
Тогда я понимаю так: при $\theta = 0$ скорость вращения обруча становится бесконечной, соответственно значение $\varphi $ теряет смысл. В этом суть?
И при $\theta=\pi$. Речь идет о случае $M=0$. При $M>0$ такого не происходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Конфигурационное пространство
Сообщение17.02.2019, 17:08 


12/05/07
458
г. Уфа
Munin в сообщении #1376610 писал(а):
Всё больше и больше впечатление, что если $M=0$, то конфигурационное пространство - двумерная сфера $\mathbb{S}^2$, - банально неправда.
Ну как же? Все положения точки, движущейся по окружности, которая может вращаться вокруг вертикальной оси, сохраняя неподвижным центр окружности, - это в точности сфера $\mathbb{S}^2$. Никакие ограничения не стесняют движение точки по этой сфере.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group