Система с параметром.

[PWT]

Вечер добрый. Помогите, пожалуйста, разобраться. Есть система с параметром, есть несколько идей, которые зашли в тупик.
Найти количество решений этой системы уравнений при $0<\sqrt{3}b<2a$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2+y^2+xy=a \\ x^2-y^2=b \\ \end{array} \right.$$

Идея 1:

$\sqrt{3}x^2-\sqrt{3}y^2<2x^2+2y^2+2xy$

Вроде как однородная система, можно сделать замену $\dfrac{y}{x}=t$

$\sqrt{3}-\sqrt{3}t^2<2+2t^2+2t$

Да, получается квадратное неравенство относительно но это ничего не даст.

Идея 2:

Складывать и вычитать уравнения, чтобы получить полезные связи, но и это тоже толком ничего не дает. Сможете ли задать направление?

[provincialka]

А вы представляете, какии линии описывает каждое из уравнений?
(кстати, это студенческая задача или школьная? если школьная, можно сделать замену $x=u+v, y=u-v$, чтобы лучше представить эти линии. Ну, а студент и так должен догдаться)

[PWT]

Спасибо. Это школьная задача. Я понимаю, что это эллипс и гипербола. Четность числа решений доказывается легко еще. Так как, если $(x,y)$ - решение, то и $(-x,-y)$ - тоже решение. Ну и из геометрических соображений это понятно.

При предложенной Вами замене получаем:

$x=\dfrac{u+v}{2}$, $y=\dfrac{u-v}{2}$

$\left\{ \begin{array}{rcl} (u+v)^2+(u-v)^2+uv=4a \\ uv=b \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} 2u^2+2v^2+uv=4a \\ uv=b \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} 2u^2+2v^2=4a-b \\ uv=b \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} u^2+v^2=R^2 \\ u=\dfrac{b}{v} \\ \end{array} \right.$

Где $R=\sqrt{\dfrac{4a-b}{2}}$

Получаем окружность и гиперболу.

Можно найти точку касания.

$-\dfrac{b}{v^2}=-\dfrac{v}{R^2-v^2}$

Не, это я зря затеял, как можно еще, подскажите, пожалуйста?

-- 16.02.2019, 23:16 --

Ладно, просто выразим и подставим:

$\dfrac{b^2}{v^2}+v^2=R^2$

$b^2+v^4=R^2v^2z$

$v^4-R^2v^2+b^2=0$

$D=R^4-4b^2\ge 0$

$R^2-\sqrt{R^4-4b^2}\ge 0$ (это выполняется всегда).

В правильном ли я направлении?

Кстати, чтобы найти точку касания, достаточно $R^4-4b^2=0$, то есть $R^2=2b$, то есть $\dfrac{4a-b}{2}=2b$ или $4a-b=4b$, $4a=5b$, $a=1,25b$

[Someone]

Другой подход.
При заданных ограничениях на параметры система не имеет решений с $x=0$, поэтому $x\neq 0$.
Делим второе уравнение на первое (левую часть на левую и правую на правую) и подставляем $y=tx$. Анализируем получившееся квадратное уравнение.

[PWT]

Someone в сообщении #1376538 писал(а):

Другой подход.
При заданных ограничениях на параметры система не имеет решений с $x=0$, поэтому $x\neq 0$.
Делим второе уравнение на первое (левую часть на левую и правую на правую) и подставляем $y=tx$. Анализируем получившееся квадратное уравнение.

Спасибо большое!

$\dfrac{1+t+t^2}{1-t^2}=\dfrac{a}{b}$

Но тогда это сводится к тому, что было в первом способе стартпоста...

-- 17.02.2019, 02:51 --

Не, можно, конечно, взять конкретные $a,b$, подходящие под условия задачи и узнать - 0 или 2 или 4 решения будет, но это уже будет неправильно как-то=)

-- 17.02.2019, 03:07 --

Решение неравенства $t\ne -\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$. Так как нас интересуют положительные $t$, то нам подходит любое положительное число. А это кака раз ничего не дает...

[iifat]

PWT в сообщении #1376550 писал(а):

это сводится к тому, что было в первом способе стартпоста

Не совсем так. Это всё же уравнение, а не неравенство. И сколько у него корней?