2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Некое отношение порядка на множестве натуральных чисел
Сообщение09.02.2019, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Строится такое отношение порядка: числа сравниваются последовательно по модулю $k_1$, потом $k_2$ и так далее до достижения неравенства. Последовательность $K$ возрастающая и бесконечная. Допустим, что $K=\mathrm{N}$. Любые два неравных числа можно строго сравнить. Например: $ 2<1; 4<2; 1<3$. Но получается, что в некоторых бесконечных подмножествах нет минимального элемента. Наверняка это известное простое отношение, но я не узнаю его в гриме :oops:
Что будет, если $K$ простые числа и вообще как это выглядит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Некое отношение порядка на множестве натуральных чисел
Сообщение09.02.2019, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3664
Москва
Так порядок же счетный, плотный, линейный и без первого и последнего элемента. Такой всего один и есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некое отношение порядка на множестве натуральных чисел
Сообщение10.02.2019, 02:15 
Аватара пользователя


07/01/16
894
Аязьма
По-моему, при $K=N$, такое отношение $<$ транзитивно, т.е. множество натуральных чисел получается вполне упорядоченным. Мы "сначала" определяем, находится ли число слева от единицы (любое четное) или в той же "когорте" по модулю $2$; затем, определяем, в какой "подкогорте" по модулю $3$ оно находится и т.п. У меня хватило усидчивости на построение $17$ членов: $$\ldots<12<6<16<4<10<2<8<14<9<15<3<1<13<7<5<17<11<\ldots$$

-- 10.02.2019, 02:29 --

Для $K=P$ выглядит подобно: $$\ldots<6<12<10<16<4<2<8<14<15<3<9<1<7<13<5<11<17<\ldots$$По-моему, полное упорядочение и для любой монотонной негораниченно растущей $K$ будет (?)

-- 10.02.2019, 02:41 --

gris в сообщении #1375049 писал(а):
Например: $ 2<1; 4<2; 1<3$. Но получается, что в некоторых бесконечных подмножествах нет минимального элемента.
Только, все таки, $3<1$; а минимального элемента, действительно, много где не будет - в частности, у любой "подкогорты", например, в подмножестве всех четных

 Профиль  
                  
 
 Re: Некое отношение порядка на множестве натуральных чисел
Сообщение10.02.2019, 02:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3664
Москва
Оно транзитивно и линейно для любой последовательности - все натуральные числа вкладываются в последовательности натуральных чисел $x \to (x\mod k_1, x\mod k_2, \ldots)$, а порядок получается ограничением лексикографического. Для антисимметричности необходимо чтобы последовательность не была ограниченной (иначе будут два разных числа, которые совпадают по всем нашим модулям).

waxtep, вы не путаете линейность, транзитивность и вполне упорядоченность? Любой порядок транзитивен (нетранзитивное отношение не называется упорядочением).

 Профиль  
                  
 
 Re: Некое отношение порядка на множестве натуральных чисел
Сообщение10.02.2019, 03:04 
Аватара пользователя


07/01/16
894
Аязьма
mihaild в сообщении #1375063 писал(а):
waxtep, вы не путаете линейность, транзитивность и вполне упорядоченность? Любой порядок транзитивен (нетранзитивное отношение не называется упорядочением).
Честно сказать, уже даже не соображу, откуда у меня идея нетранзитивности вылезла :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Некое отношение порядка на множестве натуральных чисел
Сообщение10.02.2019, 09:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Спасибо за разъяснения. В общем-то, я пытался каким-то образом построить пример упорядочивания множества натуральных чисел, при котором ни у одного числа нет последующего. Предложение воспользоваться произвольной биекцией с рациональными числами не прошло как неконструктивное. То же и с движением взад-вперед с уменьшающимся шагом. На идее с модулями сам запутался. Короче, срезали :-) Впрочем, это был бестолковый разговор у камина, но я подумал, что есть красивые и понятные конструктивные примеры. Что это за требования, не понимаю :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Некое отношение порядка на множестве натуральных чисел
Сообщение10.02.2019, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3664
Москва
Если хочется как-то совсем просто алгоритмически - можно перевернуть запись чисел и упорядочить лексикографически. Для системы по основанию $k$ это эквивалентно вашему способу с последовательностью $k, k^2, k^3, \ldots$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Некое отношение порядка на множестве натуральных чисел
Сообщение13.02.2019, 16:49 
Заслуженный участник


10/01/16
2140
gris в сообщении #1375082 писал(а):
Предложение воспользоваться произвольной биекцией с рациональными числами не прошло как неконструктивное.

Но есть ведь и "конструктивный" способ нумерации (положительных рациональных):
$r_1=1, r_{2n} =r_n+1, r_{2n+1}=\frac{1}{r_{2n}} $.
Вроде, это то же самое, что: разложим число $r$ в цепную дробь:
$r =[a_0:a_1,....,a_k.]$. (В этой записи есть дискриминация чисел: нулевое может быть нулем, а остальные - нет).
Закодируем эту дробь нулями и единицами: вместо знаков препинания напишем единички, вместо $a_0$ - столько нулей, вместо каждого $a_i$ напишем $a_i-1$ нулей (уничтожили дискриминацию!) .Прочитав это число справа налево, найдем (двоичный) номер числа $r$.

(Оффтоп)

Нумерация эта довольно известная, у нее даже есть имя какое-то, и где то она в Вики есть - но - не помню...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group