Предложение воспользоваться произвольной биекцией с рациональными числами не прошло как неконструктивное.
Но есть ведь и "конструктивный" способ нумерации (положительных рациональных):
.
Вроде, это то же самое, что: разложим число
в цепную дробь:
. (В этой записи есть дискриминация чисел: нулевое может быть нулем, а остальные - нет).
Закодируем эту дробь нулями и единицами: вместо знаков препинания напишем единички, вместо
- столько нулей, вместо каждого
напишем
нулей (уничтожили дискриминацию!) .Прочитав это число справа налево, найдем (двоичный) номер числа
.
(Оффтоп)
Нумерация эта довольно известная, у нее даже есть имя какое-то, и где то она в Вики есть - но - не помню...