Некое отношение порядка на множестве натуральных чисел

[gris]

Строится такое отношение порядка: числа сравниваются последовательно по модулю $k_1$, потом $k_2$ и так далее до достижения неравенства. Последовательность $K$ возрастающая и бесконечная. Допустим, что $K=\mathrm{N}$. Любые два неравных числа можно строго сравнить. Например: $ 2<1; 4<2; 1<3$. Но получается, что в некоторых бесконечных подмножествах нет минимального элемента. Наверняка это известное простое отношение, но я не узнаю его в гриме
Что будет, если $K$ простые числа и вообще как это выглядит?

[mihaild]

Так порядок же счетный, плотный, линейный и без первого и последнего элемента. Такой всего один и есть.

[waxtep]

По-моему, при $K=N$, такое отношение $<$ транзитивно, т.е. множество натуральных чисел получается вполне упорядоченным. Мы "сначала" определяем, находится ли число слева от единицы (любое четное) или в той же "когорте" по модулю $2$; затем, определяем, в какой "подкогорте" по модулю $3$ оно находится и т.п. У меня хватило усидчивости на построение $17$ членов:

$$\ldots<12<6<16<4<10<2<8<14<9<15<3<1<13<7<5<17<11<\ldots$$

-- 10.02.2019, 02:29 --

Для $K=P$ выглядит подобно:

$$\ldots<6<12<10<16<4<2<8<14<15<3<9<1<7<13<5<11<17<\ldots$$

По-моему, полное упорядочение и для любой монотонной негораниченно растущей $K$ будет (?)

-- 10.02.2019, 02:41 --

gris в сообщении #1375049 писал(а):

Например: $ 2<1; 4<2; 1<3$. Но получается, что в некоторых бесконечных подмножествах нет минимального элемента.

Только, все таки, $3<1$; а минимального элемента, действительно, много где не будет - в частности, у любой "подкогорты", например, в подмножестве всех четных

[mihaild]

Оно транзитивно и линейно для любой последовательности - все натуральные числа вкладываются в последовательности натуральных чисел $x \to (x\mod k_1, x\mod k_2, \ldots)$, а порядок получается ограничением лексикографического. Для антисимметричности необходимо чтобы последовательность не была ограниченной (иначе будут два разных числа, которые совпадают по всем нашим модулям).

waxtep, вы не путаете линейность, транзитивность и вполне упорядоченность? Любой порядок транзитивен (нетранзитивное отношение не называется упорядочением).

[waxtep]

mihaild в сообщении #1375063 писал(а):

waxtep, вы не путаете линейность, транзитивность и вполне упорядоченность? Любой порядок транзитивен (нетранзитивное отношение не называется упорядочением).

Честно сказать, уже даже не соображу, откуда у меня идея нетранзитивности вылезла

[gris]

Спасибо за разъяснения. В общем-то, я пытался каким-то образом построить пример упорядочивания множества натуральных чисел, при котором ни у одного числа нет последующего. Предложение воспользоваться произвольной биекцией с рациональными числами не прошло как неконструктивное. То же и с движением взад-вперед с уменьшающимся шагом. На идее с модулями сам запутался. Короче, срезали Впрочем, это был бестолковый разговор у камина, но я подумал, что есть красивые и понятные конструктивные примеры. Что это за требования, не понимаю

[mihaild]

Если хочется как-то совсем просто алгоритмически - можно перевернуть запись чисел и упорядочить лексикографически. Для системы по основанию $k$ это эквивалентно вашему способу с последовательностью $k, k^2, k^3, \ldots$.

[DeBill]

gris в сообщении #1375082 писал(а):

Предложение воспользоваться произвольной биекцией с рациональными числами не прошло как неконструктивное.

Но есть ведь и "конструктивный" способ нумерации (положительных рациональных):
$r_1=1, r_{2n} =r_n+1, r_{2n+1}=\frac{1}{r_{2n}} $.
Вроде, это то же самое, что: разложим число $r$ в цепную дробь:
$r =[a_0:a_1,....,a_k.]$. (В этой записи есть дискриминация чисел: нулевое может быть нулем, а остальные - нет).
Закодируем эту дробь нулями и единицами: вместо знаков препинания напишем единички, вместо $a_0$ - столько нулей, вместо каждого $a_i$ напишем $a_i-1$ нулей (уничтожили дискриминацию!) .Прочитав это число справа налево, найдем (двоичный) номер числа $r$.

(Оффтоп)

Нумерация эта довольно известная, у нее даже есть имя какое-то, и где то она в Вики есть - но - не помню...