Зачем гладкость при замене переменной в неопр. интеграле?

[andreyka]

В учебнике есть такое утверждение:

Если на некотором промежутке $I_x$

$$\int f(x)dx=F(x)+c$$

и $\varphi : I_t \to I_x$ непрерывно дифференцируемое (гладкое), тогда

$$\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=F(\varphi(t))+c$$

Зачем непрерывность $\varphi'(t)$? Как обосновать?

[Markiyan Hirnyk]

В У. Рудин, Основы математического анализа. Мир,М.:1966, теорема 6.17 требуется только интегрируемость по Риману функции $\varphi'(t)$ на отрезке интегрирования. Доказательство сложнее, чем в случае гладкости.

[andreyka]

Достаточность непрерывности подынтегральной функции для существования неопределенного интеграла никак не обосновать без определенного интеграла?

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

Достаточность непрерывности подынтегральной функции для существования неопределенного интеграла никак не обосновать без определенного интеграла?

Не понял.

[andreyka]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1375606 писал(а):

Не понял.

Где в доказательстве утверждения используется непрерывность функции $\varphi'(t)$? Подумал, она нужна для существования неопределенного интеграла, которое обосновывается с помощью определенного интеграла.

[Markiyan Hirnyk]

В каком доказательстве? Какого утверждения?

Цитата:

Где в доказательстве утверждения используется непрерывность функции $\varphi'(t)$? Подумал, она нужна для существования неопределенного интеграла, которое обосновывается с помощью определенного интеграла

В Вашем вопросе и в последующих Ваших комментариях нет ни доказательства, ни ссылки на него.

[andreyka]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1375616 писал(а):

В каком доказательстве? Какого утверждения? В Вашем вопросе и в последующих Ваших комментариях нет ни доказательства, ни ссылки на него.

В том и проблема, что нету доказательства. В учебнике Зорича и Фихтенгольца утверждение формулируется без доказательства, а лишь со ссылкой на правило дифференцирования сложной функции. При этом без пояснений требуется непрерывность $\varphi'(t)$. Для применения правила дифференцирования сложной функции непрерывность $\varphi'(t)$ вроде не нужна.

[Markiyan Hirnyk]

Посмотрел В. Зорич, Математический анализ, часть 1.- М.: Наука, 1981. Если я что-то не упустил из виду, для выполнения формулы (7) непрерывность $\varphi'(t)$ на $I_t$ не необходима, достаточно существования этой производной в каждой точке $I_t$ (см. следствие 1 на с. 205).