2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Зачем гладкость при замене переменной в неопр. интеграле?
Сообщение12.02.2019, 03:03 


22/09/18
44
В учебнике есть такое утверждение:

Если на некотором промежутке $I_x$
$$\int f(x)dx=F(x)+c$$
и $\varphi : I_t \to I_x$ непрерывно дифференцируемое (гладкое), тогда
$$\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=F(\varphi(t))+c$$

Зачем непрерывность $\varphi'(t)$? Как обосновать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем гладкость при замене переменной в неопр. интеграле?
Сообщение12.02.2019, 11:16 


11/07/16
801
В У. Рудин, Основы математического анализа. Мир,М.:1966, теорема 6.17 требуется только интегрируемость по Риману функции $\varphi'(t)$ на отрезке интегрирования. Доказательство сложнее, чем в случае гладкости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем гладкость при замене переменной в неопр. интеграле?
Сообщение12.02.2019, 13:57 


22/09/18
44
Достаточность непрерывности подынтегральной функции для существования неопределенного интеграла никак не обосновать без определенного интеграла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем гладкость при замене переменной в неопр. интеграле?
Сообщение12.02.2019, 17:18 


11/07/16
801
Цитата:
Достаточность непрерывности подынтегральной функции для существования неопределенного интеграла никак не обосновать без определенного интеграла?

Не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем гладкость при замене переменной в неопр. интеграле?
Сообщение12.02.2019, 17:30 


22/09/18
44
Markiyan Hirnyk в сообщении #1375606 писал(а):
Не понял.
Где в доказательстве утверждения используется непрерывность функции $\varphi'(t)$? Подумал, она нужна для существования неопределенного интеграла, которое обосновывается с помощью определенного интеграла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем гладкость при замене переменной в неопр. интеграле?
Сообщение12.02.2019, 17:53 


11/07/16
801
В каком доказательстве? Какого утверждения?
Цитата:
Где в доказательстве утверждения используется непрерывность функции $\varphi'(t)$? Подумал, она нужна для существования неопределенного интеграла, которое обосновывается с помощью определенного интеграла

В Вашем вопросе и в последующих Ваших комментариях нет ни доказательства, ни ссылки на него.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем гладкость при замене переменной в неопр. интеграле?
Сообщение12.02.2019, 17:59 


22/09/18
44
Markiyan Hirnyk в сообщении #1375616 писал(а):
В каком доказательстве? Какого утверждения? В Вашем вопросе и в последующих Ваших комментариях нет ни доказательства, ни ссылки на него.
В том и проблема, что нету доказательства. В учебнике Зорича и Фихтенгольца утверждение формулируется без доказательства, а лишь со ссылкой на правило дифференцирования сложной функции. При этом без пояснений требуется непрерывность $\varphi'(t)$. Для применения правила дифференцирования сложной функции непрерывность $\varphi'(t)$ вроде не нужна.

Изображение

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Зачем гладкость при замене переменной в неопр. интеграле?
Сообщение12.02.2019, 18:37 


11/07/16
801
Посмотрел В. Зорич, Математический анализ, часть 1.- М.: Наука, 1981. Если я что-то не упустил из виду, для выполнения формулы (7) непрерывность $\varphi'(t)$ на $I_t$ не необходима, достаточно существования этой производной в каждой точке $I_t$ (см. следствие 1 на с. 205).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group