Частица в магнитном поле

[pogulyat_vyshel]

На частицу действуют две силы: сила отталкивания и сила Лоренца:

$$m\boldsymbol a=[\boldsymbol B,\boldsymbol v]+\gamma\frac{\boldsymbol r}{r^3},$$

где $\boldsymbol B=\boldsymbol{const}\ne 0,\quad \gamma=const'>0$.
Доказать, что при любых начальных условиях частица все время движения находится внутри некоторого цилиндра (зависящего от начальных условий). Ось цилиндра проходит через отталкивающий центр параллельно вектору $\boldsymbol B$

[waxtep]

Достаточно ли такого рассуждения? - сядем в цилиндрическую СК $\{\rho,\varphi,z\}$ с началом в центре отталкивания и осью $z$ вдоль $\vec{B}$; для скорости движения вдоль угловой координаты получим

$$v_{\varphi}\equiv\rho\dot{\varphi}=\frac{B\rho}{2m}+\frac c\rho$$

где $c$ - зависящая от начальных условий константа; при слишком больших $\rho$ начнутся проблемы с законом сохранения энергии; значит, мы в цилиндре.

-- 10.02.2019, 23:47 --

Еще для аккуратности можно добавить, что если $\rho_0=0$, то и $c=0$ (никакой реальной особенности нет)

-- 11.02.2019, 00:01 --

Уфф, все таки так надежнее: $\rho^2\left(\dot{\varphi}-\frac B{2m}\right)$ - интеграл движения

[pogulyat_vyshel]

Да, все так. Я маленько перемудрил с решением и подумал что задача олимпиадная