Определения

[kalmykoff]

Здравствуйте!
Может кто сможет объяснить почему определения начинаются со слова "пусть"?
Например:
"Пусть каждому числу $x$ из множества чисел $X$ в силу некоторого закона поставлено в соответствие единственное число $y$. Тогда говорят, что $y$ есть функция от $x$, определённая на множестве $X$."
Мне не нравится такое определение.
Вот такое по душе:
"Функцией называется правило $f$, по которому каждому элементу $x$ множества $X$ ставится в соответствие единственный элемент $y$ множества $Y$."

Почему "пусть"(бывает еще "если")?

Мне видится это так: "Пусть вода течёт, такая вода называется текущей."

Во многих учебниках так даются определения, почему именно так авторы формулируют определения?

[Anton_Peplov]

По сути вопроса.

kalmykoff в сообщении #1375167 писал(а):

Почему "пусть"(бывает еще "если")?

Да нипочему. Можно использовать "пусть", можно "если", можно "который". Всё это не более чем традиции. Смысла в них не больше, чем в разнице между поребриком и бордюром (или, что ближе к предмету разговора, действительными и вещественными числами).

[Dmitriy40]

Может ещё потому, что так более явно отделяется что дано (исходные данные, посылки, постулаты) и что получается из этого, т.е. логический вывод. Может так чуть проще воспринимать сложные конструкции. Ну и согласен что много определений бывает и в других формах (типа "отрезком называется множество точек, таких что ...").
Так что неверна сама постановка вопроса "почему определения таковы" - они просто далеко не все таковы.

[gris]

Так же и в англоязыкой математике обожают слово Let: Let f and g are...
А это и есть пусть. Let it be, короче.

[kalmykoff]

Мне тяжело понимать определения с таким входом(незнаю почему), для себя решил заменять слово пусть на если. В определениях не должно менять смысл, но это не точно...
У меня вопроса "Почему если?" не возникает, для меня все очевидно. Вопрос решен, спасибо тем кто ответил.

[lel0lel]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1375183 писал(а):

Так же и в англоязыкой математике обожают слово Let: Let f and g are...

Только глагол используется в неопределённой форме: Let f and g be...

[gris]

lel0lel, упс. Перепутал let it be c HJ dont let me dowh

[eugensk]

kalmykoff в сообщении #1375187 писал(а):

для себя решил заменять слово пусть на если.

Напрасно, рано или поздно Вы столкнетесь с таким определением, как

Пусть $\mathbf{B}$ — некоторая база подмножеств области определения. Тогда число $a$ называется пределом функции по базе $\mathbf{B}$, если для всякого $\varepsilon >0$ найдётся такой элемент $B$ базы $\mathbf{B}$, что для любого $x\in B$ выполнено $|f(x)-a|<\varepsilon$,

и что станете делать?

Пусть позволяет не запихивать все условия в одно предложение, а Вы себе в этом удобстве отказываете.

[Евгений Машеров]

ИМХО это не математический вопрос, а как бы не юридический ;)
Есть законы, принятые надлежащим органом. Их же не преступиши.
Есть гипотезы, в которых сомневается и говорящий. И формулирует, как условные предложения.
А есть допущения, которые приняты говорящим и предлагаются слушателю к добровольному приёму.
Вот "Функция это..." или даже "Функцией называется..." - установление закона. Всё прочие определения либо ложны, противореча закону, либо надо доказывать, что они эквивалентны.
Когда сказано "Если функция..." - то это условное определение, может быть и не "если".
А вот "пусть" это определение, которое принято для данного случая, и действует именно в рамках данного рассуждения.

kalmykoff в сообщении #1375167 писал(а):

"Пусть каждому числу $x$ из множества чисел $X$ в силу некоторого закона поставлено в соответствие единственное число $y$. Тогда говорят, что $y$ есть функция от $x$, определённая на множестве $X$."

Мы ведь не обязаны ставить каждому иксу единственное число игрек. Мы делаем допущение, что такое соответствие установлено, и именно при этом условии действует определение.