ИМХО это не математический вопрос, а как бы не юридический ;)
Есть законы, принятые надлежащим органом. Их же не преступиши.
Есть гипотезы, в которых сомневается и говорящий. И формулирует, как условные предложения.
А есть допущения, которые приняты говорящим и предлагаются слушателю к добровольному приёму.
Вот "Функция это..." или даже "Функцией называется..." - установление закона. Всё прочие определения либо ложны, противореча закону, либо надо доказывать, что они эквивалентны.
Когда сказано "Если функция..." - то это условное определение, может быть и не "если".
А вот "пусть" это определение, которое принято для данного случая, и действует именно в рамках данного рассуждения.
"Пусть каждому числу
из множества чисел
в силу некоторого закона поставлено в соответствие единственное число
. Тогда говорят, что
есть функция от
, определённая на множестве
."
Мы ведь не обязаны ставить каждому иксу единственное число игрек. Мы делаем допущение, что такое соответствие установлено, и именно при этом условии действует определение.