2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 16:29 
Аватара пользователя


08/10/09
250
Херсон
Привет всем!
Хорошо известно, что для свободной частицы спектр энергии непрерывен а плотность вероятности
всюду в пространстве принимает постоянное значение. В КЯ спектр дискретен, а плотность вероятности
осциллирует и меет ноды (нули функции).
Давайте рассмотрим одномерную КЯ с квадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты
("гармонический осциллятор"). Если "уплощать" такую яму (уменьшать коэфициент жесткости или циклическую
частоту колебаний) то значения плотности вероятности (квадрата модуля волновой функции) уменьшаются, стремясь к нулю
К нулю также стремятся все значения энергий дискретного спектра. Аналогичная ситуация имеет место для прямоугольной ямы
при увеличении ее ширины.
Налицо невыполнение предельного перехода КЯ -свободная частица..... Как же устранить такое противоречие?
Может быть нужно рассматривать волновой пакет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8859
Hogtown
reterty в сообщении #1374977 писал(а):
Налицо невыполнение предельного перехода КЯ -свободная частица..... Как же устранить такое противоречие?

Надо просто правильно понимать, в каком смысле происходит предельный переход.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68741
reterty в сообщении #1374977 писал(а):
Хорошо известно, что для свободной частицы спектр энергии непрерывен а плотность вероятности всюду в пространстве принимает постоянное значение.

Первое верно, второе - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 17:03 
Аватара пользователя


08/10/09
250
Херсон
Munin в сообщении #1374985 писал(а):
reterty в сообщении #1374977 писал(а):
Хорошо известно, что для свободной частицы спектр энергии непрерывен а плотность вероятности всюду в пространстве принимает постоянное значение.

Первое верно, второе - нет.

Почему второе неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68741
Вот вам бы для начала с этим разобраться, а не в более сложные вещи лезть.

Это верно только для собственных состояний свободной частицы (и в постоянном потенциале), но щас сюда набежит Red_Herring, и скажет, что это даже собственными состояниями называть некорректно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8859
Hogtown
Munin в сообщении #1374997 писал(а):
но щас сюда набежит Red_Herring, и скажет, что это даже собственными состояниями называть некорректно.
Ну если физики называют обобщенные с.з. и с.ф. просто с.з. и с.ф., то не буду разубеждать, хотя различать стоит.

Если мы хотим увидеть предельный переход, то надо зафиксировать не номер с.з. , а его приблизительное значение. Но в каком смысле с.ф. $\psi_n^V$ должны стремиться к "с.ф." предельного оператора? В $L^2$ в сильном смысле они стремиться не могут, в слабом смысле и поточечно они стремятся к $0$, но еслу мы рассмотрим
$$
\lim \sum_{n\colon E_n < E} |\psi^V_n (x)|^2=(2\pi)^{-3} \frac{4\pi}{3} E^{\frac{3}{2}
$$
или
$$
\lim e^V(x,x,E)=e^0 (x,x,E)
$$
где $e^V(.,.,E)$ ядро Шварца спектрального проектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68741
А можно ли в каком-то смысле сказать, что спектр оператора Гамильтона как плотность распределения с.з. по энергии стремится к соответствующей плотности состояний свободной частицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8859
Hogtown
Munin в сообщении #1375024 писал(а):
А можно ли в каком-то смысле сказать, что спектр оператора Гамильтона как плотность распределения с.з. по энергии стремится к соответствующей плотности состояний свободной частицы?

Спектр это множество, а плотность числовая функция. Ну вот в том что я написал слева и справа стоят итегрирoванные (по уровням энергии, от $-\infty$ до $E$) поточечные плотности. Разумеется, слева это не интегрированные плотности состояний, поскольку в общепринятом смысле IDS определяется как предел при $L\to \infty$ отношения числа таких состояний в кубе с ребром $L$ к объему этого куба, и слева этот предел нулевой. А справа этo IDS в тривиальном случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68741
Red_Herring в сообщении #1375031 писал(а):
Спектр это множество, а плотность числовая функция.

Мы можем изобразить множество "расчёской дельта-функций". Более того, можем потом взять интеграл, чтобы было что запределивать. Ну и нормировать одинаково.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8859
Hogtown
Munin в сообщении #1375040 писал(а):
Мы можем изобразить множество "расчёской дельта-функций". Более того, можем потом взять интеграл, чтобы было что запределивать. Ну и нормировать одинаково.
Вот поэтому мы и говорим об интегрированной плотности.

Но: если мы проинтегрируем по $x\in \mathbb{R}^3$, то высота расчески будет $1$ и я не вижу разумной нормировки. А вот если не интегрировать, то и нормировать не надо. Просто хотя собственных значений все больше, с.ф. все более и более размазаны

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Парджеттер, Pphantom, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group