Предельный переход квантовая яма-свободная частица

[reterty]

Привет всем!
Хорошо известно, что для свободной частицы спектр энергии непрерывен а плотность вероятности
всюду в пространстве принимает постоянное значение. В КЯ спектр дискретен, а плотность вероятности
осциллирует и меет ноды (нули функции).
Давайте рассмотрим одномерную КЯ с квадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты
("гармонический осциллятор"). Если "уплощать" такую яму (уменьшать коэфициент жесткости или циклическую
частоту колебаний) то значения плотности вероятности (квадрата модуля волновой функции) уменьшаются, стремясь к нулю
К нулю также стремятся все значения энергий дискретного спектра. Аналогичная ситуация имеет место для прямоугольной ямы
при увеличении ее ширины.
Налицо невыполнение предельного перехода КЯ -свободная частица..... Как же устранить такое противоречие?
Может быть нужно рассматривать волновой пакет?

[Red_Herring]

reterty в сообщении #1374977 писал(а):

Налицо невыполнение предельного перехода КЯ -свободная частица..... Как же устранить такое противоречие?

Надо просто правильно понимать, в каком смысле происходит предельный переход.

[Munin]

reterty в сообщении #1374977 писал(а):

Хорошо известно, что для свободной частицы спектр энергии непрерывен а плотность вероятности всюду в пространстве принимает постоянное значение.

Первое верно, второе - нет.

[reterty]

Munin в сообщении #1374985 писал(а):

reterty в сообщении #1374977 писал(а):

Хорошо известно, что для свободной частицы спектр энергии непрерывен а плотность вероятности всюду в пространстве принимает постоянное значение.

Первое верно, второе - нет.

Почему второе неверно?

[Munin]

Вот вам бы для начала с этим разобраться, а не в более сложные вещи лезть.

Это верно только для собственных состояний свободной частицы (и в постоянном потенциале), но щас сюда набежит Red_Herring, и скажет, что это даже собственными состояниями называть некорректно.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1374997 писал(а):

но щас сюда набежит Red_Herring, и скажет, что это даже собственными состояниями называть некорректно.

Ну если физики называют обобщенные с.з. и с.ф. просто с.з. и с.ф., то не буду разубеждать, хотя различать стоит.

Если мы хотим увидеть предельный переход, то надо зафиксировать не номер с.з. , а его приблизительное значение. Но в каком смысле с.ф. $\psi_n^V$ должны стремиться к "с.ф." предельного оператора? В $L^2$ в сильном смысле они стремиться не могут, в слабом смысле и поточечно они стремятся к $0$, но еслу мы рассмотрим

$$ \lim \sum_{n\colon E_n < E} |\psi^V_n (x)|^2=(2\pi)^{-3} \frac{4\pi}{3} E^{\frac{3}{2} $$

или

$$ \lim e^V(x,x,E)=e^0 (x,x,E) $$

где $e^V(.,.,E)$ ядро Шварца спектрального проектора.

[Munin]

А можно ли в каком-то смысле сказать, что спектр оператора Гамильтона как плотность распределения с.з. по энергии стремится к соответствующей плотности состояний свободной частицы?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1375024 писал(а):

А можно ли в каком-то смысле сказать, что спектр оператора Гамильтона как плотность распределения с.з. по энергии стремится к соответствующей плотности состояний свободной частицы?

Спектр это множество, а плотность числовая функция. Ну вот в том что я написал слева и справа стоят итегрирoванные (по уровням энергии, от $-\infty$ до $E$) поточечные плотности. Разумеется, слева это не интегрированные плотности состояний, поскольку в общепринятом смысле IDS определяется как предел при $L\to \infty$ отношения числа таких состояний в кубе с ребром $L$ к объему этого куба, и слева этот предел нулевой. А справа этo IDS в тривиальном случае.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1375031 писал(а):

Спектр это множество, а плотность числовая функция.

Мы можем изобразить множество "расчёской дельта-функций". Более того, можем потом взять интеграл, чтобы было что запределивать. Ну и нормировать одинаково.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1375040 писал(а):

Мы можем изобразить множество "расчёской дельта-функций". Более того, можем потом взять интеграл, чтобы было что запределивать. Ну и нормировать одинаково.

Вот поэтому мы и говорим об интегрированной плотности.

Но: если мы проинтегрируем по $x\in \mathbb{R}^3$, то высота расчески будет $1$ и я не вижу разумной нормировки. А вот если не интегрировать, то и нормировать не надо. Просто хотя собственных значений все больше, с.ф. все более и более размазаны