2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 16:29 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Привет всем!
Хорошо известно, что для свободной частицы спектр энергии непрерывен а плотность вероятности
всюду в пространстве принимает постоянное значение. В КЯ спектр дискретен, а плотность вероятности
осциллирует и меет ноды (нули функции).
Давайте рассмотрим одномерную КЯ с квадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты
("гармонический осциллятор"). Если "уплощать" такую яму (уменьшать коэфициент жесткости или циклическую
частоту колебаний) то значения плотности вероятности (квадрата модуля волновой функции) уменьшаются, стремясь к нулю
К нулю также стремятся все значения энергий дискретного спектра. Аналогичная ситуация имеет место для прямоугольной ямы
при увеличении ее ширины.
Налицо невыполнение предельного перехода КЯ -свободная частица..... Как же устранить такое противоречие?
Может быть нужно рассматривать волновой пакет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
reterty в сообщении #1374977 писал(а):
Налицо невыполнение предельного перехода КЯ -свободная частица..... Как же устранить такое противоречие?

Надо просто правильно понимать, в каком смысле происходит предельный переход.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
reterty в сообщении #1374977 писал(а):
Хорошо известно, что для свободной частицы спектр энергии непрерывен а плотность вероятности всюду в пространстве принимает постоянное значение.

Первое верно, второе - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 17:03 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Munin в сообщении #1374985 писал(а):
reterty в сообщении #1374977 писал(а):
Хорошо известно, что для свободной частицы спектр энергии непрерывен а плотность вероятности всюду в пространстве принимает постоянное значение.

Первое верно, второе - нет.

Почему второе неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вот вам бы для начала с этим разобраться, а не в более сложные вещи лезть.

Это верно только для собственных состояний свободной частицы (и в постоянном потенциале), но щас сюда набежит Red_Herring, и скажет, что это даже собственными состояниями называть некорректно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 18:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Munin в сообщении #1374997 писал(а):
но щас сюда набежит Red_Herring, и скажет, что это даже собственными состояниями называть некорректно.
Ну если физики называют обобщенные с.з. и с.ф. просто с.з. и с.ф., то не буду разубеждать, хотя различать стоит.

Если мы хотим увидеть предельный переход, то надо зафиксировать не номер с.з. , а его приблизительное значение. Но в каком смысле с.ф. $\psi_n^V$ должны стремиться к "с.ф." предельного оператора? В $L^2$ в сильном смысле они стремиться не могут, в слабом смысле и поточечно они стремятся к $0$, но еслу мы рассмотрим
$$
\lim \sum_{n\colon E_n < E} |\psi^V_n (x)|^2=(2\pi)^{-3} \frac{4\pi}{3} E^{\frac{3}{2}
$$
или
$$
\lim e^V(x,x,E)=e^0 (x,x,E)
$$
где $e^V(.,.,E)$ ядро Шварца спектрального проектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А можно ли в каком-то смысле сказать, что спектр оператора Гамильтона как плотность распределения с.з. по энергии стремится к соответствующей плотности состояний свободной частицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Munin в сообщении #1375024 писал(а):
А можно ли в каком-то смысле сказать, что спектр оператора Гамильтона как плотность распределения с.з. по энергии стремится к соответствующей плотности состояний свободной частицы?

Спектр это множество, а плотность числовая функция. Ну вот в том что я написал слева и справа стоят итегрирoванные (по уровням энергии, от $-\infty$ до $E$) поточечные плотности. Разумеется, слева это не интегрированные плотности состояний, поскольку в общепринятом смысле IDS определяется как предел при $L\to \infty$ отношения числа таких состояний в кубе с ребром $L$ к объему этого куба, и слева этот предел нулевой. А справа этo IDS в тривиальном случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring в сообщении #1375031 писал(а):
Спектр это множество, а плотность числовая функция.

Мы можем изобразить множество "расчёской дельта-функций". Более того, можем потом взять интеграл, чтобы было что запределивать. Ну и нормировать одинаково.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход квантовая яма-свободная частица
Сообщение09.02.2019, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Munin в сообщении #1375040 писал(а):
Мы можем изобразить множество "расчёской дельта-функций". Более того, можем потом взять интеграл, чтобы было что запределивать. Ну и нормировать одинаково.
Вот поэтому мы и говорим об интегрированной плотности.

Но: если мы проинтегрируем по $x\in \mathbb{R}^3$, то высота расчески будет $1$ и я не вижу разумной нормировки. А вот если не интегрировать, то и нормировать не надо. Просто хотя собственных значений все больше, с.ф. все более и более размазаны

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: stalvoron, vicvolf


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group