Задача. Доказать гомеоморфность
.Здесь

- пространство непрерывных отображений из топологического пространства

в топологическое пространство

, взятое с компактно-открытой топологией. Предбазу компактно-открытой топологии образуют множества

, где

компактно,

открыто.
Задача сформулирована без каких-либо ограничений на пространства

, например, в Рохлин, Фукс Начальный курс топологии с. 52, Куратовский Топология, том 2, с. 97, Энгелькинг Общая топология, с. 245 (в последних двух книгах даже для бесконечного числа пространств). Доказательства нигде нет.
Я доказал, что отображение

непрерывно. Для этого достаточно доказать, что прообраз любого элемента предбазы открыт. Предбазу топологии на

образуют множества

, где

компактны,

,

открыты (пересечения таких множеств дадут базисное открытое множество в

умножить на базисное открытое множество в

, а это есть базис произведения

). Тогда

открыто в компактно-открытой топологии пространства

. Тут в доказательстве не используется, что это именно
компактно-открытая топология.
А вот доказать, что обратное отображение

, где

для любого

, без дополнительных предположений не получается.
В Энгелькинге имеется лемма
Лемма 3.4.6. Если
- хаусдорфово пространство, то предбазу компактно-открытой топологии пространства
образуют множества
, где
компактно, а
пробегает некоторую предбазу топологии
.(доказательство в учебнике приведено).
В этом случае прообраз элемента предбазы компактно-открытой топологии пространства


открыт в

. То есть, в случае, когда

хаусдорфово, обратное отображение непрерывно. У меня также получилось доказать для случая, когда

любое, а

регулярное пространство (у любой точки и не содержащего её замкнутого множества найдутся непересекающиеся открытые окрестности). Я склоняюсь к мысли, что все-таки утверждение верно в общем случае.
Есть обсуждение этого вопроса на math.stackexchange.com:
тема 1,
тема 2. Но они там ни к чему не пришли толком. В
теме 1 смешно: сошлись на том, что Энгелькинг под компактным множеством

подразумевает
хаусдорфово компатное подпространство в

, даже если само

не хаусдорфово. Я в Энгелькинге не нашел указаний на то, что он это подразумевает.