Задача. Доказать гомеоморфность .Здесь
- пространство непрерывных отображений из топологического пространства
в топологическое пространство
, взятое с компактно-открытой топологией. Предбазу компактно-открытой топологии образуют множества
, где
компактно,
открыто.
Задача сформулирована без каких-либо ограничений на пространства
, например, в Рохлин, Фукс Начальный курс топологии с. 52, Куратовский Топология, том 2, с. 97, Энгелькинг Общая топология, с. 245 (в последних двух книгах даже для бесконечного числа пространств). Доказательства нигде нет.
Я доказал, что отображение
непрерывно. Для этого достаточно доказать, что прообраз любого элемента предбазы открыт. Предбазу топологии на
образуют множества
, где
компактны,
,
открыты (пересечения таких множеств дадут базисное открытое множество в
умножить на базисное открытое множество в
, а это есть базис произведения
). Тогда
открыто в компактно-открытой топологии пространства
. Тут в доказательстве не используется, что это именно
компактно-открытая топология.
А вот доказать, что обратное отображение
, где
для любого
, без дополнительных предположений не получается.
В Энгелькинге имеется лемма
Лемма 3.4.6. Если - хаусдорфово пространство, то предбазу компактно-открытой топологии пространства образуют множества , где компактно, а пробегает некоторую предбазу топологии .(доказательство в учебнике приведено).
В этом случае прообраз элемента предбазы компактно-открытой топологии пространства
открыт в
. То есть, в случае, когда
хаусдорфово, обратное отображение непрерывно. У меня также получилось доказать для случая, когда
любое, а
регулярное пространство (у любой точки и не содержащего её замкнутого множества найдутся непересекающиеся открытые окрестности). Я склоняюсь к мысли, что все-таки утверждение верно в общем случае.
Есть обсуждение этого вопроса на math.stackexchange.com:
тема 1,
тема 2. Но они там ни к чему не пришли толком. В
теме 1 смешно: сошлись на том, что Энгелькинг под компактным множеством
подразумевает
хаусдорфово компатное подпространство в
, даже если само
не хаусдорфово. Я в Энгелькинге не нашел указаний на то, что он это подразумевает.