2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведение отображений и компактно-открытая топология
Сообщение06.02.2019, 11:36 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Задача. Доказать гомеоморфность $(Y\times Z)^X\simeq Y^X\times Z^X$.
Здесь $Y^X$ - пространство непрерывных отображений из топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$, взятое с компактно-открытой топологией. Предбазу компактно-открытой топологии образуют множества $W(K,U)=\{f\in Y^X\mid f(K)\subset U\}$, где $K\subset X$ компактно, $U\subset Y$ открыто.

Задача сформулирована без каких-либо ограничений на пространства $X,Y,Z$, например, в Рохлин, Фукс Начальный курс топологии с. 52, Куратовский Топология, том 2, с. 97, Энгелькинг Общая топология, с. 245 (в последних двух книгах даже для бесконечного числа пространств). Доказательства нигде нет.

Я доказал, что отображение $\varphi \colon(Y\times Z)^X\to Y^X\times Z^X, f\mapsto (\operatorname{pr}_Y\circ f, \mathrm{pr}_Z\circ f)$ непрерывно. Для этого достаточно доказать, что прообраз любого элемента предбазы открыт. Предбазу топологии на $Y^X\times Z^X$ образуют множества $W(K,U)\times W(M,V)$, где $K,M\subset X$ компактны, $U\subset Y$, $V\subset Z$ открыты (пересечения таких множеств дадут базисное открытое множество в $Y^X$ умножить на базисное открытое множество в $Z^X$, а это есть базис произведения $Y^X\times Z^X$). Тогда $\varphi^{-1}(W(K,U)\times W(M,V))=W(K,U\times Z)\cap W(M,Y\times V)$ открыто в компактно-открытой топологии пространства $(Y\times Z)^X$. Тут в доказательстве не используется, что это именно компактно-открытая топология.

А вот доказать, что обратное отображение $\psi\colon Y^X\times Z^X\to (Y\times Z)^X, (f,g)\mapsto f\times g$, где $(f\times g)(x)=(f(x),g(x))$ для любого $x\in X$, без дополнительных предположений не получается.
В Энгелькинге имеется лемма
Лемма 3.4.6. Если $X$ - хаусдорфово пространство, то предбазу компактно-открытой топологии пространства $Y^X$ образуют множества $W(K,U)$, где $K\subset X$ компактно, а $U\subset Y$ пробегает некоторую предбазу топологии $Y$.
(доказательство в учебнике приведено).
В этом случае прообраз элемента предбазы компактно-открытой топологии пространства $(Y\times Z)^X$
$\psi^{-1}(W(K,U\times V))=\varphi(W(K,U\times V))=W(K,U)\times W(K,V)$ открыт в $Y^X\times Z^X$. То есть, в случае, когда $X$ хаусдорфово, обратное отображение непрерывно. У меня также получилось доказать для случая, когда $X$ любое, а $Y\times Z$ регулярное пространство (у любой точки и не содержащего её замкнутого множества найдутся непересекающиеся открытые окрестности). Я склоняюсь к мысли, что все-таки утверждение верно в общем случае.

Есть обсуждение этого вопроса на math.stackexchange.com: тема 1, тема 2. Но они там ни к чему не пришли толком. В теме 1 смешно: сошлись на том, что Энгелькинг под компактным множеством $K\subset X$ подразумевает хаусдорфово компатное подпространство в $X$, даже если само $X$ не хаусдорфово. Я в Энгелькинге не нашел указаний на то, что он это подразумевает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений и компактно-открытая топология
Сообщение06.02.2019, 13:52 
Заслуженный участник


31/12/15
935
Не уверен, что это верно для произвольных пространств. Дело в том, что запись $Y^X$ сбивает с толку. Категория всех топологических пространств не декартово замкнута, не для любых двух пространств существует экспонента. Для каких-то "хороших" пространств (кажется, локально компактных) экспонента есть и устроена именно так (множество непрерывных функций с компактно-открытой топологией). Вот для них этот изоморфизм очевиден (он верен для всякой экспоненты в любой категории).

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений и компактно-открытая топология
Сообщение06.02.2019, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Padawan в сообщении #1374399 писал(а):
А вот доказать, что обратное отображение

может быть, удобнее доказывать, что $\varphi$ открыто?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений и компактно-открытая топология
Сообщение06.02.2019, 21:40 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
alcoholist в сообщении #1374473 писал(а):
может быть, удобнее доказывать, что $\varphi$ открыто?

А какая разница, это же взаимно-обратные биекции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений и компактно-открытая топология
Сообщение07.02.2019, 01:32 
Заслуженный участник


31/12/15
935
Контрпример можно попробовать искать среди пространств, для которых экспоненты нет. Например, в качестве $X$ берём не локально компактное пространство (пространство рациональных чисел, пространство иррациональных чисел), а в качестве $Y$ любое хорошее пространство (отрезок, дискретное двоеточие). Тогда экспоненты $Y^X$ нет. Непрерывных функций из $X$ в $Y$ много, но организованы они плохо. Что такое экспонента? Это множество всех непрерывных функций из $X$ в $Y$ с "хорошей" топологией. Должно быть непрерывно отображение вычисления
$ev\colon Y^X\times X\to Y$
которое по паре $(f,x)$ выдаёт значение $f(x)$
Этого можно добиться, задав на множестве непрерывных функций дискретную топологию. Но это плохое решение, нужна грубейшая топология, для которой непрерывно отображение вычисления (она существует не всегда).

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений и компактно-открытая топология
Сообщение07.02.2019, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
george66 в сообщении #1374578 писал(а):
Тогда экспоненты $Y^X$ нет

простите, я не знаток "абстрактной чепухи")) Что значит "множества нет"?
Или : чем отличается "экспонента $Y^X$" от множества непрерывных отображений $X\to Y$ с компактно-открытой топологией?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений и компактно-открытая топология
Сообщение08.02.2019, 03:04 
Заслуженный участник


31/12/15
935
Экспонента не просто множество, а топологическое пространство. Есть общее теоретико-категорное определение экспоненты. Для топологических пространств экспонента $Y^X$ это множество всех непрерывных функций из $X$ в $Y$ с "хорошей" топологией. Топология хорошая, если
1) непрерывно отображение вычисления
$ev\colon Y^X\times X\to Y$
2) для любой непрерывной функции вида
$f\colon Z\times X\to Y$
где $Z$ произвольное топологическое пространство, непрерывна также функция
$g\colon Z\to Y^X$
где $g$ определено таким равенством
$g(z)(x) = f(z,x)$
Эти условия противоположны по смыслу. Первого всегда можно добиться, взяв на множестве непрерывных функций дискретную топологию, а второго - антидискретную. А вот и того, и другого сразу добиться можно не всегда. Если топология с такими свойствами существует, то она единственна с точностью до гомеоморфизма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений и компактно-открытая топология
Сообщение08.02.2019, 08:30 
Заслуженный участник


31/12/15
935
Прошу прощения, для первого условия годится дискретная топология, а для второго антидискретная (исправил в предыдущем сообщении, теперь правильно)

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение отображений и компактно-открытая топология
Сообщение08.02.2019, 12:29 
Заслуженный участник


31/12/15
935
Вот статья на эту тему
http://www.cs.bham.ac.uk/~mhe/papers/newyork.pdf

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group