Произведение отображений и компактно-открытая топология

[Padawan]

Задача. Доказать гомеоморфность $(Y\times Z)^X\simeq Y^X\times Z^X$.
Здесь $Y^X$ - пространство непрерывных отображений из топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$, взятое с компактно-открытой топологией. Предбазу компактно-открытой топологии образуют множества $W(K,U)=\{f\in Y^X\mid f(K)\subset U\}$, где $K\subset X$ компактно, $U\subset Y$ открыто.

Задача сформулирована без каких-либо ограничений на пространства $X,Y,Z$, например, в Рохлин, Фукс Начальный курс топологии с. 52, Куратовский Топология, том 2, с. 97, Энгелькинг Общая топология, с. 245 (в последних двух книгах даже для бесконечного числа пространств). Доказательства нигде нет.

Я доказал, что отображение $\varphi \colon(Y\times Z)^X\to Y^X\times Z^X, f\mapsto (\operatorname{pr}_Y\circ f, \mathrm{pr}_Z\circ f)$ непрерывно. Для этого достаточно доказать, что прообраз любого элемента предбазы открыт. Предбазу топологии на $Y^X\times Z^X$ образуют множества $W(K,U)\times W(M,V)$, где $K,M\subset X$ компактны, $U\subset Y$, $V\subset Z$ открыты (пересечения таких множеств дадут базисное открытое множество в $Y^X$ умножить на базисное открытое множество в $Z^X$, а это есть базис произведения $Y^X\times Z^X$). Тогда $\varphi^{-1}(W(K,U)\times W(M,V))=W(K,U\times Z)\cap W(M,Y\times V)$ открыто в компактно-открытой топологии пространства $(Y\times Z)^X$. Тут в доказательстве не используется, что это именно компактно-открытая топология.

А вот доказать, что обратное отображение $\psi\colon Y^X\times Z^X\to (Y\times Z)^X, (f,g)\mapsto f\times g$, где $(f\times g)(x)=(f(x),g(x))$ для любого $x\in X$, без дополнительных предположений не получается.
В Энгелькинге имеется лемма
Лемма 3.4.6. Если $X$ - хаусдорфово пространство, то предбазу компактно-открытой топологии пространства $Y^X$ образуют множества $W(K,U)$, где $K\subset X$ компактно, а $U\subset Y$ пробегает некоторую предбазу топологии $Y$.
(доказательство в учебнике приведено).
В этом случае прообраз элемента предбазы компактно-открытой топологии пространства $(Y\times Z)^X$
$\psi^{-1}(W(K,U\times V))=\varphi(W(K,U\times V))=W(K,U)\times W(K,V)$ открыт в $Y^X\times Z^X$. То есть, в случае, когда $X$ хаусдорфово, обратное отображение непрерывно. У меня также получилось доказать для случая, когда $X$ любое, а $Y\times Z$ регулярное пространство (у любой точки и не содержащего её замкнутого множества найдутся непересекающиеся открытые окрестности). Я склоняюсь к мысли, что все-таки утверждение верно в общем случае.

Есть обсуждение этого вопроса на math.stackexchange.com: тема 1, тема 2. Но они там ни к чему не пришли толком. В теме 1 смешно: сошлись на том, что Энгелькинг под компактным множеством $K\subset X$ подразумевает хаусдорфово компатное подпространство в $X$, даже если само $X$ не хаусдорфово. Я в Энгелькинге не нашел указаний на то, что он это подразумевает.

[george66]

Не уверен, что это верно для произвольных пространств. Дело в том, что запись $Y^X$ сбивает с толку. Категория всех топологических пространств не декартово замкнута, не для любых двух пространств существует экспонента. Для каких-то "хороших" пространств (кажется, локально компактных) экспонента есть и устроена именно так (множество непрерывных функций с компактно-открытой топологией). Вот для них этот изоморфизм очевиден (он верен для всякой экспоненты в любой категории).

[alcoholist]

Padawan в сообщении #1374399 писал(а):

А вот доказать, что обратное отображение

может быть, удобнее доказывать, что $\varphi$ открыто?

[Padawan]

alcoholist в сообщении #1374473 писал(а):

может быть, удобнее доказывать, что $\varphi$ открыто?

А какая разница, это же взаимно-обратные биекции.

[george66]

Контрпример можно попробовать искать среди пространств, для которых экспоненты нет. Например, в качестве $X$ берём не локально компактное пространство (пространство рациональных чисел, пространство иррациональных чисел), а в качестве $Y$ любое хорошее пространство (отрезок, дискретное двоеточие). Тогда экспоненты $Y^X$ нет. Непрерывных функций из $X$ в $Y$ много, но организованы они плохо. Что такое экспонента? Это множество всех непрерывных функций из $X$ в $Y$ с "хорошей" топологией. Должно быть непрерывно отображение вычисления
$ev\colon Y^X\times X\to Y$
которое по паре $(f,x)$ выдаёт значение $f(x)$
Этого можно добиться, задав на множестве непрерывных функций дискретную топологию. Но это плохое решение, нужна грубейшая топология, для которой непрерывно отображение вычисления (она существует не всегда).

[alcoholist]

george66 в сообщении #1374578 писал(а):

Тогда экспоненты $Y^X$ нет

простите, я не знаток "абстрактной чепухи")) Что значит "множества нет"?
Или : чем отличается "экспонента $Y^X$" от множества непрерывных отображений $X\to Y$ с компактно-открытой топологией?

[george66]

Экспонента не просто множество, а топологическое пространство. Есть общее теоретико-категорное определение экспоненты. Для топологических пространств экспонента $Y^X$ это множество всех непрерывных функций из $X$ в $Y$ с "хорошей" топологией. Топология хорошая, если
1) непрерывно отображение вычисления
$ev\colon Y^X\times X\to Y$
2) для любой непрерывной функции вида
$f\colon Z\times X\to Y$
где $Z$ произвольное топологическое пространство, непрерывна также функция
$g\colon Z\to Y^X$
где $g$ определено таким равенством
$g(z)(x) = f(z,x)$
Эти условия противоположны по смыслу. Первого всегда можно добиться, взяв на множестве непрерывных функций дискретную топологию, а второго - антидискретную. А вот и того, и другого сразу добиться можно не всегда. Если топология с такими свойствами существует, то она единственна с точностью до гомеоморфизма.

[george66]

Прошу прощения, для первого условия годится дискретная топология, а для второго антидискретная (исправил в предыдущем сообщении, теперь правильно)

[george66]

Вот статья на эту тему
http://www.cs.bham.ac.uk/~mhe/papers/newyork.pdf