Эквивалентность матриц

[situs]

Я изменил стартовый пост. Перечислил допустимые преобразования. Их всего 5.

Посмотрите, пожалуйста.

[bot]

Посмотрел - не понял. Например, допустимо ли преобразование
$\begin{pmatrix}0&0&1&1\\0&0&1&0 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}0&0&1&1 \end{pmatrix}$?

Может быть просто допустимо вычеркнуть одну строку из двух одинаковых и, аналогично, для столбцов?

[alcoholist]

Ваше (5) это (3) и (4), как ниже:

$$ \begin{pmatrix} 0 &1 &1 &0 \\ -1 &0 &0 &1 \\ -1 &0 &0 &1 \\ 0 &-1 &-1 &0 \end{pmatrix} \stackrel{(3),II-III}{\to} \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ -1 &0 &0 &1 \\ 0 &0 &-1 &0 \end{pmatrix}\stackrel{(4)}{\to} \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ -1 &0 &1 \\ 0 &-1 &0 \end{pmatrix}.$$

II-III это синхронное вычитание из второй/го строки/столбца третью/ий строку/столбец

-- Вт фев 05, 2019 11:35:35 --

bot в сообщении #1374242 писал(а):

Например, допустимо ли преобразование

Думаю, недопустимо. Нужно синхронное изменение строк/столбцов
Соответственно и вычеркивание и умножение на число должны быть синхронными
Всё потому, что преобразования -- это преобразования внутри линеала антисимметричных матриц

[bot]

Вот, только что собрался предложить синхронный вариант. Если две одинаковые строки и два столбца столбца содержат нулевой $2\times 2$ блок, то допустимо из двух этих строк и столбцов вычеркнуть одну строку и один столбец.

[alcoholist]

Вот пример

$$ S_3= \begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ -1 &0 &1 \\ -1 &-1 &0 \end{pmatrix}\stackrel{III-II}{\to} \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ -1 &0 &1 \\ 0 &-1 &0 \end{pmatrix}\stackrel{I+III}{\to} \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &0 &1 \\ 0 &-1 &0 \end{pmatrix}\stackrel{(4)}{\to} S_2. $$

-- Вт фев 05, 2019 11:46:24 --

bot в сообщении #1374246 писал(а):

Вот, только что собрался предложить синхронный вариант.

Эээ... вы читаете, что я пишу?

alcoholist в сообщении #1374244 писал(а):

(5) это (3) и (4)

[situs]

bot в сообщении #1374242 писал(а):

Посмотрел - не понял. Например, допустимо ли преобразование
$\begin{pmatrix}0&0&1&1\\0&0&1&0 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}0&0&1&1 \end{pmatrix}$?

Может быть просто допустимо вычеркнуть одну строку из двух одинаковых и, аналогично, для столбцов?

Недопустимо. В Вашем примере матрицы не квадратные и не кососимметричные.

-- 05.02.2019, 12:01 --

alcoholist в сообщении #1374244 писал(а):

Ваше (5) это (3) и (4)

Действительно! Получается операция (5) не нужна.

[alcoholist]

situs в сообщении #1374250 писал(а):

Недопустимо. В Вашем примере матрицы не квадратные и не кососимметричные.

Вы не сказали, что преобразования осуществляются над кососимметрическими матрицами. Я вас категорически призываю к однозначной постановке задачи. Все ваши "элементарные преобразования" 1-5 (фактически 1-4), примененные к кососимметрическим матрицам, должны приводить к кососимметрическим матрицам. Так что никаких "умножений строки на число"!

-- Вт фев 05, 2019 12:24:48 --

situs
и, кстати, что насчет примера $S_3\to S_2$?

[situs]

alcoholist
Спасибо. Я буду думать. Может быть скажете, где можно почитать про кососимметричные матрицы и их алгебру? А то жуть как всё запутано.

[alcoholist]

situs в сообщении #1374254 писал(а):

и их алгебру

Не алгебру, линейное пространство (произведение кососимметрических матриц не является кососимметрической матрицей). Или алгебру, но уже алгебру Ли. Это здесь лишнее.
Для ваших целей достаточно знать, что такое линейное пространство, базис, размерность.

[situs]

alcoholist в сообщении #1374253 писал(а):

насчет примера $S_3\to S_2$

Думаю, что тут Вы правы. $S_3$ лишнее.

Подскажите, пожалуйста, если ли какая-то теорема про кососимметричные матрицы, где бы говорилось, что любая такая матрица размера $n $\times$ n$ для любого $n$ и содержащая только элементы $\left\lbrace -1, 0, 1 \right\rbrace$ может быть преобразована к матрице размера $4 $\times$ 4$ или $2 $\times$ 2$? Про размерность кратную 2 -- это известный факт.

[alcoholist]

situs в сообщении #1374793 писал(а):

теорема про кососимметричные матрицы, где бы говорилось, что любая такая матрица

про кососимметрические, или любая?

-- Чт фев 07, 2019 22:03:25 --

situs в сообщении #1374793 писал(а):

может быть преобразована

какими преобразованиями?

-- Чт фев 07, 2019 22:04:31 --

situs в сообщении #1374793 писал(а):

к матрице размера $4 $\times$ 4$ или $2 $\times$ 2$? Про размерность кратную 2 -- это известный факт

еще одно соображение: как же ранг?

[situs]

alcoholist в сообщении #1374799 писал(а):

про кососимметрические, или любая?

Кососимметричная.

alcoholist в сообщении #1374799 писал(а):

какими преобразованиями?

Теми которые в начале темы 1) - 4)

alcoholist в сообщении #1374799 писал(а):

еще одно соображение: как же ранг?

Виноват. Ранг кратен 2.

[alcoholist]

situs в сообщении #1373827 писал(а):

2) Умножение элементов строки (столбца) на число неравное нулю.

умножьте ненулевую строку на 2, потеряется кососимметричность...

-- Пт фев 08, 2019 00:02:26 --

откуда вообще взялись эти $S_{1,2,3}$?

[Lia]

situs
У меня более общий вопрос: откуда вообще взялась эта задача, которую Вы до сих пор не можете толком поставить?
Немудрено, что она не решается.

[situs]

Скорее всего умножать можно только на -1. Это я что-то не додумал или передумал. В задании ничего подробного про преобразования не содержится.

И про $S_{1,2,3}$ не известно, они были в условии.

-- 08.02.2019, 00:47 --

Lia в сообщении #1374811 писал(а):

situs
У меня более общий вопрос: откуда вообще взялась эта задача, которую Вы до сих пор не можете толком поставить?
Немудрено, что она не решается.

Нам сказали что должна решаться Предыстория такова. На занятиях по компьютерному анализу и обработке данных озвучили, что некоторые объекты кодируются квадратными кососимметричными матрицами состоящими из -1, 0 и 1. Это может возникнуть в задачах помехоустойчивого кодирования и сжатия изображений. Размерность матриц изначально может быть сколь угодно большой, но конечной. Есть еще "канонические" или шаблонные матрицы к которым теоретически матричными опеарциями могут свестись все виды этих кососимметричных матриц - это матрицы $S_{1, 2, 3}$. И есть еще матрицы так называемые "запрещенные", которые не могут получится в любом случае - это вроде и есть четыре матрицы $A$. Это все должно помочь определить класс "хороших" или нужных нам объектов. Нам нужно желательно разобраться в этом, то бишь попытаться доказать факт на основе теории, почему это так. Хотя кто его знает, может я неправильно все понял.

Более четкой постановки как бы и нет. Я сам пытаюсь формализовать Вам все это худо-бедно. Я что то вообще не припомню чтоб нам давали кососимметричные матрицы. В курсе линала мы на них не останавливались. Не помню. Это было вообще на 1-м курсе. Сейчас 3-й.