2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 составить уравнение поверхности, образованной вращ кривой
Сообщение06.02.2019, 11:06 


14/09/16
281
составить уравнение поверхности, образованной вращение вокруг оси $Oz$ кривой $z=\frac{4}{x^2}$
$y=0$.
мое решение.
начал с того, что посмотрел на график $y=\frac{4}{x^2}$ прикинул как будет выглядеть поверхность вращения.
я так понимаю он правильно будет называться однополостный гиперболоид вращения? или нет?
$\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1$
уже с этого момента у меня много сомнений.
буду рад если кто-то подскажет, ведь как понимаю дальше надо будет выражать из уравнения определенную величину.

 Профиль  
                  
 
 Re: составить уравнение поверхности, образованной вращ кривой
Сообщение06.02.2019, 12:03 
Аватара пользователя


15/12/18

621
Москва Зябликово
Ivan 09
Относительно гиперболоидов: заглянули бы в любой учебник по аналитической геометрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: составить уравнение поверхности, образованной вращ кривой
Сообщение06.02.2019, 12:05 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Ограничения на вид системы координат и уравнения есть? Просто в цилиндрических координатах ответ уже готов, а в декартовых его можно получить куда проще в виде явной зависимости $z=f(x,y)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: составить уравнение поверхности, образованной вращ кривой
Сообщение06.02.2019, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ivan 09 в сообщении #1374395 писал(а):
я так понимаю он правильно будет называться однополостный гиперболоид вращения?

Нет, неправильно. Но это не важно.

 Профиль  
                  
 
 Re: составить уравнение поверхности, образованной вращ кривой
Сообщение06.02.2019, 12:57 


05/09/16
12038
Выглядеть будет примерно так (синяя ось - это $Oz$)
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: составить уравнение поверхности, образованной вращ кривой
Сообщение06.02.2019, 12:59 


14/09/16
281
Pphantom
ограничения есть, $z$ принимает положительные значения.
я понимаю что мои вопросы показывают, что я совершенно не разбираюсь в теме. но все же есть желание разобраться с этим конкретным примером.
если мы перейдем к цилиндрической системе координат у нас получится что $z$ зависит от $r$. нам же надо избавиться от него ($r$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: составить уравнение поверхности, образованной вращ кривой
Сообщение06.02.2019, 13:03 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Ivan 09 в сообщении #1374411 писал(а):
ограничения есть, $z$ принимает положительные значения.
Это очевидно. :-) Вопрос был не в этом.
Ivan 09 в сообщении #1374411 писал(а):
если мы перейдем к цилиндрической системе координат у нас получится что $z$ зависит от $r$. нам же надо избавиться от него ($r$)?
Зачем? Вам надо составить уравнение поверхности - выражение, связывающее между собой координаты ее точек. $r$ - одна из координат, почему от нее надо избавляться?

 Профиль  
                  
 
 Re: составить уравнение поверхности, образованной вращ кривой
Сообщение06.02.2019, 13:10 


05/09/16
12038
Ivan 09
Смотрите. Вот берем точку $x=2;y=0$ и тогда $z=1$, то есть получаем точку с координатами $(x;y;z)$ такими $(2;0;1)$
Теперь мы хотим вращать это точку вокруг оси $Oz$. А что у нас получится за кривая, в которую превратится след нашей точки при вращении вокруг оси $Oz$?

 Профиль  
                  
 
 Re: составить уравнение поверхности, образованной вращ кривой
Сообщение06.02.2019, 13:31 


14/09/16
281
wrest
если я правильно понимаю, это будет окружность?

 Профиль  
                  
 
 Re: составить уравнение поверхности, образованной вращ кривой
Сообщение06.02.2019, 13:37 


05/09/16
12038
Ivan 09 в сообщении #1374421 писал(а):
если я правильно понимаю, это будет окружность?

Да, это будет окружность. Можете сказать какой у неё радиус, где центр и как раположена плоскость в которой окружность содержится? Можете написать уравнение этой окружности?

 Профиль  
                  
 
 Re: составить уравнение поверхности, образованной вращ кривой
Сообщение06.02.2019, 13:49 


14/09/16
281
wrest
опять же , если правильно понимаю.
плоскость будет расположена параллельно плоскости $xOy$, центр окружности на оси $z$ а радиус будет для точки, которую вы указали $\sqrt{5}$
дайте мне ещё немного времени

 Профиль  
                  
 
 Re: составить уравнение поверхности, образованной вращ кривой
Сообщение06.02.2019, 14:14 


05/09/16
12038
Ivan 09 в сообщении #1374424 писал(а):
плоскость будет расположена параллельно плоскости $xOy$,
Да, или можно сказать по-другому: перпендикулярно оси $Oz$
Ivan 09 в сообщении #1374424 писал(а):
центр окружности на оси $z$
Да, то есть $x=0;y=0$
Ivan 09 в сообщении #1374424 писал(а):
а радиус будет для точки, которую вы указали $\sqrt{5}$
Нет, я спрашивал не про "радиус для точки", а про радиус окружности, которая получится, если вращать точку $(x=2;y=0;z=1)$ вокруг оси $Oz$ :)

Вот вам ещё картинка вашей поверхности, может так понятней будет:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: составить уравнение поверхности, образованной вращ кривой
Сообщение06.02.2019, 15:53 
Аватара пользователя


27/02/12
3883
Ivan 09 в сообщении #1374395 писал(а):
составить уравнение поверхности, образованной вращение вокруг оси $Oz$ кривой $z=\frac{4}{x^2}$

А давайте облечем уравнение кривой в такую формулировку:
$z$ обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до оси $Oz$.
Ни на что не намекает?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj, mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group