Ковариантная дивергенция и кривизна

[Nirowulf]

Здравствуйте!

Есть такой вопрос, сам не смог найти ничего путного найти.

Пусть у нас есть риманово многообразие с метрикой $g_{\mu \nu}$ произвольной сигнатуры, на многообразии также задано векторное поле $A^\sigma (x)$.

Можем написать ковариантную производную по связности, согласованной с метрикой:

$$ D_\mu A^\sigma=\partial_\mu A^\nu+\Gamma^\sigma_{\mu \nu} A^\nu, \quad \Gamma_{\sigma, \mu \nu}=\frac{1}{2} \left(\partial_\mu g_{\sigma \nu}+\partial_\nu g_{\sigma \mu}-\partial_\sigma g_{\mu \nu} \right). $$

Известно ли что-нибудь специфическое про векторное поле, ковариантная дивергенция которого равна скалярной кривизне многообразия:

$$ D_\mu A^\mu=R? $$

И, вообще, всегда ли можно задать такое векторное поле?

[alcoholist]

Nirowulf в сообщении #1374217 писал(а):

И, вообще, всегда ли можно задать такое векторное поле?

Если метрика фиксирована, то получается линейное неоднородное уравнение первого порядка на $A$. Локально оно, конечно, разрешимо.

[pogulyat_vyshel]

Предположим, что многообразие $M$, на котором происходит дело, компактно и без края.


Интегрируя равенство

Nirowulf в сообщении #1374217 писал(а):

я которого равна скалярной кривизне многообразия:

$$ D_\mu A^\mu=R? $$

мы вроде бы (я это не проверял, это может не так, надо проверить) должны получить

$$\int_MR\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=\int_MD_\mu A^\mu\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=-\int_M\Big(\frac{\partial 1}{\partial x^k}\Big)A^k\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=0$$

Т.е мы получили необходимое условие существования такого векторного поля

-- 05.02.2019, 15:13 --

Проверил, все правильно

[Igrickiy(senior)]

pogulyat_vyshel
Как пример и вопрос.
Скалярная кривизна сферы с радиусом $R$ равна $\frac2R$.
Как здесь выглядит необходимое условие?

[pogulyat_vyshel]

Igrickiy(senior) в сообщении #1374290 писал(а):

Скалярная кривизна сферы с радиусом $R$ равна $\frac2R$.

верю на слово

Igrickiy(senior) в сообщении #1374290 писал(а):

Как здесь выглядит необходимое условие?

$\frac{2}{R}\cdot 4\pi R^2=0$

[Igrickiy(senior)]

pogulyat_vyshel в сообщении #1374291 писал(а):

верю на слово

Мне?????

pogulyat_vyshel в сообщении #1374291 писал(а):

$\frac{2}{R}\cdot 4\pi R^2=0$

Не следует ли из этого, что сфера имеет нулевой радиус?
И какое на ней будет поле?

[pogulyat_vyshel]

Igrickiy(senior) в сообщении #1374293 писал(а):

Не следует ли из этого, что сфера имеет нулевой радиус?

из этого следует, что векторного поля не существует

[Igrickiy(senior)]

pogulyat_vyshel в сообщении #1374294 писал(а):

из этого следует, что векторного поля не существует

pogulyat_vyshel в сообщении #1374271 писал(а):

должны получить

$$\int_MR\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^m=0$$

Т.е мы получили необходимое условие существования такого векторного поля

Отсюда один шаг до средней скалярной кривизны, которая тоже равна нулю.
Что это за многообразие?

[pogulyat_vyshel]

Igrickiy(senior) в сообщении #1374295 писал(а):

Отсюда один шаг до средней скалярной кривизны, которая тоже равна нулю.

что значит "один шаг"? что значит "тоже"? какое это отношение имеет к вопросу стартового поста?

-- 05.02.2019, 17:29 --

Igrickiy(senior) в сообщении #1374290 писал(а):

Скалярная кривизна сферы с радиусом $R$ равна $\frac2R$.

неверно, это средняя кривизна. А в стартовом посте речь идет очевидно, о гауссовой $1/R^2$

[Igrickiy(senior)]

1. Один шаг - разделить на "объём".
2. "Тоже" - это к тому, что интеграл от кривизны уже был равен нулю.
3. Слова "средня кривизна" употребил я, поэтому это не "наверное", а точно. О какой кривизне писал ТС, Вам очевидно, мне нет.

[pogulyat_vyshel]

Igrickiy(senior) в сообщении #1374300 писал(а):

Слова "средня кривизна" употребил я, поэтому это не "наверное", а точно. О какой кривизне писал ТС, Вам очевидно, мне нет.

И как же вы в таком случае определяете среднюю кривизну на произвольном римановом многообразии?

[Igrickiy(senior)]

Я не буду повторять формулы, какие уже Вами написаны. Средней кривизной я бы назвал Ваш солидный первый интеграл с кривизной, который нужно разделить на такой же без кривизны, т.е. на "объём".

[pogulyat_vyshel]

Igrickiy(senior) в сообщении #1374303 писал(а):

Средней кривизной я бы назвал Ваш солидный первый интеграл с кривизной, который нужно разделить на такой же без кривизны, т.е. на "объём".

Это не эквивалентно стандартному определению средней кривизны для двумерных поверхностей в евклидовом $\mathbb{R}^3$

[Igrickiy(senior)]

Ничего не имею против классического определения средней гауссовой кривизны.

[SergeyGubanov]

Значит для компактных и без края:

$$ D_{\mu} A^{\mu} = R - \frac{ \int R \sqrt{g} \, d_n x }{ \int \sqrt{g} \, d_n x } $$