Интерпретация в логике и множества.

[mihaild]

А, то есть весь разговор про то, что истинность формулы может зависеть от интерпретации? Да, это так, это очевидно, и с принадлежностью себе никак не связано.

[ignat.fugasov]

ignat.fugasov в сообщении #1374070 писал(а):

А что такое интерпретация исчисления предикатов?

Наверное то же, что и интерпретация любой другой теории первого порядка. В Мендельсоне, по которому занимаюсь, это система из непустого множества $D$ и соответствия относящего знакам некоторые объекты зависящие от множества(предикатным знакам - отношения в $D$, функциональным - операции в $D$ и константым - элементы из $D$), но там не говорится о том в какой теории мы работаем.

mihaild в сообщении #1374064 писал(а):

Это вообще не формула. $\in$ - предикатный символ, в него можно подставлять только термы, но не предикатные выражения.

Я не имел в виду двухместную предикатную букву, обозначающуюся как $\in$.
Еще раз, если интерпретировать допустим исчисление предикатов, то в зависимости от аксиоматики множеств меняются возможности интерпретации. Если мы накладываем запрет на составление множеств содержащих сами себя, то спросить истинна ли формула $A(a)$, где $A$ и $a$ - одно и то же отношение "не быть вилкой" нельзя(полагается, что относительно себя оно выполнено), ведь интерпретируются предикатные знаки только множествами, не содержащими самих себя. В то же время если опустить ограничение на множества содержащие себя $A(a)$ станет истинной. Построил аналогичный пример в предыдущем ответе. Там всё в порядке?

[Someone]

ignat.fugasov в сообщении #1374079 писал(а):

Наверное то же, что и интерпретация любой другой теории первого порядка.

В теории первого порядка предикаты не интерпретируются как объекты теории. Например, в ZFC двухместный предикат "$\in$" не интерпретируется как множество.

[george66]

Да, истинность формулы зависит от интерпретации, но это не влияет на основной результат (теорему о полноте). Там идея, что интерпретаций достаточно много. Для любой невыводимой формулы можно подобрать интерпретацию, в которой она неверна. Тонкости теории множеств при этом не используются.

[yafkin]

Набор правил - это тоже множество. Все о чем можно рассуждать и сами рассуждения это множества. (Существуют и псевдомножества)