С определением того, какая из двух топологий

и

"сильнее", а какая "слабее", сколько помню, всегда была какая-то неопределённость: одни считали, что если

, то

сильнее, а

слабее, другие же — наоборот. Я сам всегда придерживался первого варианта.
Вот, например, строим пространство "ёж счётной колючести", приклеевая к точке счетное число отрезков.

-топология будет соответствовать тому, что длины этих отрезков не стремятся к нулю (это можно вложить в гильбертово пространство, например). Эта топология будет как раз сильнейшей топологией, для которой вложения отрезков

непрерывны. А, например, топология, которая получится, если длины отрезков стремятся к нулю, будет слабее.
Тут какое-то недоразумение. Ёж счётной колючести в слабой топологии не метризуем и в гильбертов кирпич не лезет.
На метризуемом еже метрика задаётся явно: считая, что "иглы" представляют собой отрезки
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
единичной длины с отождествлёнными точками

, полагаем, что расстояние между точками на одной "игле" равно расстоянию между ними на отрезке
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
, а между точками разных "игл" — сумме расстояний до точки

.
Компактный ёж получается, если открытыми считать подмножества, которые с каждой "иглой" пересекаются по открытому (в топологии отрезка) множеству, причём, если это множество содержит центральную точку ежа, то оно должно содержать все "иглы" целиком, за исключением конечного числа.