Weak в названии CW-комплекса

[Padawan]

Букву W в названии CW-комплекса расшифровывают как weak, слабая топология, что означает следующее условие:
- множество $A\subset X$ замкнуто тогда и только тогда, когда $A\cap B_i$ замкнуто для любой замкнутой клетки $B_i\subset X$.
Но это же определение сильной (финальной, индуктивной) топологии!
У нас есть семейство вложений $f_i\colon B_i\hookrightarrow X$, множество $A$ замкнуто тогда и только тогда, когда $f^{-1}_i(A)$ замкнуто для любого $i$.

Вот, например, строим пространство "ёж счётной колючести", приклеевая к точке счетное число отрезков. $CW$-топология будет соответствовать тому, что длины этих отрезков не стремятся к нулю (это можно вложить в гильбертово пространство, например). Эта топология будет как раз сильнейшей топологией, для которой вложения отрезков $I_i\hookrightarrow X$ непрерывны. А, например, топология, которая получится, если длины отрезков стремятся к нулю, будет слабее.

Почему же такое название? Путаница, или я чего-то не понимаю.

[vpb]

Padawan
Да нет, Вы правильно понимаете, вроде. А чем это название мотивировано, трудно сказать.

[Red_Herring]

Когда-то я спросил С.Л.Соболева, почему он обозначал пространства Соболева $W^l_p$, ведь у него сильное определение и логичнее обозначить их $S^l_p$.
«Из скромности» ответил С.Л.

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1373781 писал(а):

Когда-то я спросил С.Л.Соболева, почему он обозначал пространства Соболева $W^l_p$, ведь у него сильное определение и логичнее обозначить их $S^l_p$

А что, хорошее предложение. Шварц тоже с буквы S начинается

[dsge]

Red_Herring в сообщении #1373781 писал(а):

Когда-то я спросил С.Л.Соболева, почему он обозначал пространства Соболева $W^l_p$, ведь у него сильное определение и логичнее обозначить их $S^l_p$.
«Из скромности» ответил С.Л.

А почему $W$?

[thething]

dsge в сообщении #1373821 писал(а):

А почему $W$?

Потому что СоболеВ (так пошутил наш преподаватель по функану).

[dsge]

thething в сообщении #1373823 писал(а):

Потому что СоболеВ (так пошутил наш преподаватель по функану).

Это по-немецки так будет? Он вроде ввел их в статье, написанной на французском и опубликованной в "малоизвестном французском журнале".

[Slav-27]

Можно думать, что топология "расталкивает" точки: чем больше открытых множеств, тем сильнее расталкивает. А можно думать, что она их "прилепляет" друг к другу: чем меньше открытых множеств, тем сильнее прилепляет.

В наши дни преобладает, кажется, первая точка зрения; в функциональном анализе она преобладала всегда.

Видимо, Уайтхед предпочитал вторую.

[Someone]

С определением того, какая из двух топологий $\tau_1$ и $\tau_2$ "сильнее", а какая "слабее", сколько помню, всегда была какая-то неопределённость: одни считали, что если $\tau_1\subset\tau_2$, то $\tau_1$ сильнее, а $\tau_2$ слабее, другие же — наоборот. Я сам всегда придерживался первого варианта.

Padawan в сообщении #1373751 писал(а):

Вот, например, строим пространство "ёж счётной колючести", приклеевая к точке счетное число отрезков. $CW$-топология будет соответствовать тому, что длины этих отрезков не стремятся к нулю (это можно вложить в гильбертово пространство, например). Эта топология будет как раз сильнейшей топологией, для которой вложения отрезков $I_i\hookrightarrow X$ непрерывны. А, например, топология, которая получится, если длины отрезков стремятся к нулю, будет слабее.

Тут какое-то недоразумение. Ёж счётной колючести в слабой топологии не метризуем и в гильбертов кирпич не лезет.
На метризуемом еже метрика задаётся явно: считая, что "иглы" представляют собой отрезки $[0,1]$ единичной длины с отождествлёнными точками $0$, полагаем, что расстояние между точками на одной "игле" равно расстоянию между ними на отрезке $[0,1]$, а между точками разных "игл" — сумме расстояний до точки $0$.
Компактный ёж получается, если открытыми считать подмножества, которые с каждой "иглой" пересекаются по открытому (в топологии отрезка) множеству, причём, если это множество содержит центральную точку ежа, то оно должно содержать все "иглы" целиком, за исключением конечного числа.

[Padawan]

Someone в сообщении #1373925 писал(а):

одни считали, что если $\tau_1\subset\tau_2$, то $\tau_1$ сильнее, а $\tau_2$ слабее, другие же — наоборот. Я сам всегда придерживался первого варианта.

То есть дискретная топология - это слабейшая, а антидискретная сильнейшая? Ничего себе.

Someone в сообщении #1373925 писал(а):

Ёж счётной колючести в слабой топологии не метризуем и в гильбертов кирпич не лезет.

Да, согласен, ошибся. $CW$-топология ежа (которую я назвал сильной, а Вы слабой) еще сильнее (то есть больше открытых множеств), чем метризуемая топология, которую Вы описали (я ее и имел ввиду). Если взять в $n$-той игле полуинтервальчик $[0,\frac{1}{n})$ и объединить их все, получится множество, открытое в $CW$-топологии, но не открытое в метрической.
А если брать не $\frac{1}{n}$, а произвольную стремящуюся к нулю последовательность $a_n$, то можно получить множество $CW$-открытое, но не открытое в любой наперед заданной метрике. Точнее так: для любой метрики найдется последовательность $a_n\to 0$ такая, что объединение полуинтервалов $[0,a_n)$ будет $CW$-открыто, но не открыто в данной метрике. То есть $CW$-топология ежа не метризуема.
P.S. Достаточно брать $a_n$ так, чтоба в $n$-той иголке было $\rho(a_n,0)<\frac{1}{n}$.

[Someone]

Padawan в сообщении #1374067 писал(а):

То есть дискретная топология - это слабейшая, а антидискретная сильнейшая? Ничего себе.

Да полная неразбериха с этими терминами. Во избежание недоразумений можно говорить "наибольшая" и "наименьшая" (по включению). Это всеми понимается однозначно.