2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Weak в названии CW-комплекса
Сообщение03.02.2019, 11:24 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
Букву W в названии CW-комплекса расшифровывают как weak, слабая топология, что означает следующее условие:
- множество $A\subset X$ замкнуто тогда и только тогда, когда $A\cap B_i$ замкнуто для любой замкнутой клетки $B_i\subset X$.
Но это же определение сильной (финальной, индуктивной) топологии!
У нас есть семейство вложений $f_i\colon B_i\hookrightarrow X$, множество $A$ замкнуто тогда и только тогда, когда $f^{-1}_i(A)$ замкнуто для любого $i$.

Вот, например, строим пространство "ёж счётной колючести", приклеевая к точке счетное число отрезков. $CW$-топология будет соответствовать тому, что длины этих отрезков не стремятся к нулю (это можно вложить в гильбертово пространство, например). Эта топология будет как раз сильнейшей топологией, для которой вложения отрезков $I_i\hookrightarrow X$ непрерывны. А, например, топология, которая получится, если длины отрезков стремятся к нулю, будет слабее.

Почему же такое название? Путаница, или я чего-то не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Weak в названии CW-комплекса
Сообщение03.02.2019, 12:41 
Заслуженный участник


18/01/15
1759
Padawan
Да нет, Вы правильно понимаете, вроде. А чем это название мотивировано, трудно сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Weak в названии CW-комплекса
Сообщение03.02.2019, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9512
Hogtown
Когда-то я спросил С.Л.Соболева, почему он обозначал пространства Соболева $W^l_p$, ведь у него сильное определение и логичнее обозначить их $S^l_p$.
«Из скромности» ответил С.Л.

 Профиль  
                  
 
 Re: Weak в названии CW-комплекса
Сообщение03.02.2019, 14:08 
Аватара пользователя


31/08/17
25/04/20
1809
Red_Herring в сообщении #1373781 писал(а):
Когда-то я спросил С.Л.Соболева, почему он обозначал пространства Соболева $W^l_p$, ведь у него сильное определение и логичнее обозначить их $S^l_p$

А что, хорошее предложение. Шварц тоже с буквы S начинается

 Профиль  
                  
 
 Re: Weak в названии CW-комплекса
Сообщение03.02.2019, 14:16 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Red_Herring в сообщении #1373781 писал(а):
Когда-то я спросил С.Л.Соболева, почему он обозначал пространства Соболева $W^l_p$, ведь у него сильное определение и логичнее обозначить их $S^l_p$.
«Из скромности» ответил С.Л.

А почему $W$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Weak в названии CW-комплекса
Сообщение03.02.2019, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1259
Антарктика
dsge в сообщении #1373821 писал(а):
А почему $W$?

Потому что СоболеВ (так пошутил наш преподаватель по функану).

 Профиль  
                  
 
 Re: Weak в названии CW-комплекса
Сообщение03.02.2019, 14:25 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
thething в сообщении #1373823 писал(а):
Потому что СоболеВ (так пошутил наш преподаватель по функану).

Это по-немецки так будет? Он вроде ввел их в статье, написанной на французском и опубликованной в "малоизвестном французском журнале".

 Профиль  
                  
 
 Re: Weak в названии CW-комплекса
Сообщение03.02.2019, 18:13 
Заслуженный участник


14/10/14
747
Можно думать, что топология "расталкивает" точки: чем больше открытых множеств, тем сильнее расталкивает. А можно думать, что она их "прилепляет" друг к другу: чем меньше открытых множеств, тем сильнее прилепляет.

В наши дни преобладает, кажется, первая точка зрения; в функциональном анализе она преобладала всегда.

Видимо, Уайтхед предпочитал вторую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Weak в названии CW-комплекса
Сообщение03.02.2019, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17066
Москва
С определением того, какая из двух топологий $\tau_1$ и $\tau_2$ "сильнее", а какая "слабее", сколько помню, всегда была какая-то неопределённость: одни считали, что если $\tau_1\subset\tau_2$, то $\tau_1$ сильнее, а $\tau_2$ слабее, другие же — наоборот. Я сам всегда придерживался первого варианта.

Padawan в сообщении #1373751 писал(а):
Вот, например, строим пространство "ёж счётной колючести", приклеевая к точке счетное число отрезков. $CW$-топология будет соответствовать тому, что длины этих отрезков не стремятся к нулю (это можно вложить в гильбертово пространство, например). Эта топология будет как раз сильнейшей топологией, для которой вложения отрезков $I_i\hookrightarrow X$ непрерывны. А, например, топология, которая получится, если длины отрезков стремятся к нулю, будет слабее.
Тут какое-то недоразумение. Ёж счётной колючести в слабой топологии не метризуем и в гильбертов кирпич не лезет.
На метризуемом еже метрика задаётся явно: считая, что "иглы" представляют собой отрезки $[0,1]$ единичной длины с отождествлёнными точками $0$, полагаем, что расстояние между точками на одной "игле" равно расстоянию между ними на отрезке $[0,1]$, а между точками разных "игл" — сумме расстояний до точки $0$.
Компактный ёж получается, если открытыми считать подмножества, которые с каждой "иглой" пересекаются по открытому (в топологии отрезка) множеству, причём, если это множество содержит центральную точку ежа, то оно должно содержать все "иглы" целиком, за исключением конечного числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Weak в названии CW-комплекса
Сообщение04.02.2019, 14:42 
Заслуженный участник


13/12/05
3747
Someone в сообщении #1373925 писал(а):
одни считали, что если $\tau_1\subset\tau_2$, то $\tau_1$ сильнее, а $\tau_2$ слабее, другие же — наоборот. Я сам всегда придерживался первого варианта.

То есть дискретная топология - это слабейшая, а антидискретная сильнейшая? Ничего себе.

Someone в сообщении #1373925 писал(а):
Ёж счётной колючести в слабой топологии не метризуем и в гильбертов кирпич не лезет.

Да, согласен, ошибся. $CW$-топология ежа (которую я назвал сильной, а Вы слабой) еще сильнее (то есть больше открытых множеств), чем метризуемая топология, которую Вы описали (я ее и имел ввиду). Если взять в $n$-той игле полуинтервальчик $[0,\frac{1}{n})$ и объединить их все, получится множество, открытое в $CW$-топологии, но не открытое в метрической.
А если брать не $\frac{1}{n}$, а произвольную стремящуюся к нулю последовательность $a_n$, то можно получить множество $CW$-открытое, но не открытое в любой наперед заданной метрике. Точнее так: для любой метрики найдется последовательность $a_n\to 0$ такая, что объединение полуинтервалов $[0,a_n)$ будет $CW$-открыто, но не открыто в данной метрике. То есть $CW$-топология ежа не метризуема.
P.S. Достаточно брать $a_n$ так, чтоба в $n$-той иголке было $\rho(a_n,0)<\frac{1}{n}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Weak в названии CW-комплекса
Сообщение04.02.2019, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17066
Москва
Padawan в сообщении #1374067 писал(а):
То есть дискретная топология - это слабейшая, а антидискретная сильнейшая? Ничего себе.
Да полная неразбериха с этими терминами. Во избежание недоразумений можно говорить "наибольшая" и "наименьшая" (по включению). Это всеми понимается однозначно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group