Унитарная симметрия

[StaticZero]

Говорят, что гамильтониан обладает унитарной симметрией $\hat U$, если верно

$$ \hat U^\dagger \hat H \hat U = \hat H, \eqno{(*)} $$

где $\hat U$ --- унитарный.

Говорят, что гамильтониан обладает хиральной симметрией $\hat R$, если верно

$$ \hat R^\dagger \hat H \hat R = - \hat H, $$

где $\hat R$ --- унитарный и эрмитов. Умножим здесь слева на $\hat R^\dagger$ и справа на $\hat R$, будет тогда $(\hat R^\dagger)^2 \hat H \hat R^2 = \hat H$, с другой стороны оператор $\hat R^2$ унитарный. Говорят при этом следующие слова: предположим, что $\hat R^2$ отличен от единицы, тогда он представляет собой унитарную симметрию, которую можно выгнать следующим образом: заметим, что $(*)$ даёт $[\hat U, \hat H] = 0$, значит можно выбрать общий базис и сузить $\hat H$ на подпространства $\ker (\hat U - \lambda_n \hat I)$, прямая сумма которых даст всё гильбертово пространство. Там унитарной симметрии уже не будет, и значит без потери общности можно считать, что её и так нет и тогда $\hat R^2 = \hat I$, что даёт $\hat R = \hat R^{-1} = \hat R^\dagger$ (то есть если верно $\hat R^\dagger \hat H \hat R = - \hat H$, то $\hat R$ обязательно эрмитов и унитарный и другого быть не может, это доказательство такое).

У меня вопрос. А в $\ker (\hat U - \lambda_n \hat I)$ что, не найдётся уже унитарной симметрии для сужения $\hat H$ на это подпространство? Эта процедура "изгнания унитарной симметрии" точно закончится?

[vpb]

Что-то непонятно. Если оператор $A$ одновременно унитарен и эрмитов, то он в любом случае в квадрате единица. Действительно, унитарность означает $AA^\dagger=A^\dagger A=E$, эрмитовость --- $A=A^\dagger$, откуда очевидно $A^2=AA^\dagger=E$.
Кроме того, если $A$ и $B$ --- два таких оператора, что $A=A^\dagger$ и $B^\dagger AB=-A$, то отсюда совсем не следует, что $B=B^\dagger$ или $B$ унитарен (можно взять две матрицы $2\times2$, $A$ --- диагональная с $1$ и $-1$, а $B$ подберите сами). В общем, ерунда какая-то...

[StaticZero]

Ах, это я не понял написанного (да, текст для русскоязычного читателя написан по-моему не очень хорошо, слишком много словесного мусора). Там оператор $\hat R$ подразумевается исходно унитарным, говорится, что если он удовлетворяет

StaticZero в сообщении #1373716 писал(а):

$$ \hat R^\dagger \hat H \hat R = - \hat H, $$

то он автоматически эрмитов.

Доказывают так.

StaticZero в сообщении #1373716 писал(а):

Умножим здесь слева на $\hat R^\dagger$ и справа на $\hat R$, будет тогда $(\hat R^\dagger)^2 \hat H \hat R^2 = \hat H$

говорят потом, что $\hat R^2$ унитарный, так как $\hat R^2 (\hat R^\dagger)^2 = \hat R \hat R \hat R^\dagger \hat R^\dagger = \hat I$. Обозначим $\hat U = \hat R^2$, имеем вот это

StaticZero в сообщении #1373716 писал(а):

$$ \hat U^\dagger \hat H \hat U = \hat H $$

Это то же самое, что $[\hat U, \hat H] = 0$. Развалим гильбертово пространство в прямую сумму собственных подпространств $\hat U$: $\mathscr H = \bigoplus \ker(\hat U - \exp(i \phi_n) \hat I)$. Рассмотрим сужение ситуации на каждое из этих подпространств; в них $\hat U_n \equiv \exp(i \phi_n) \hat I$ и верно

$$ \exp(-i \phi_n) \hat H_n \exp(i \phi_n) = \hat H_n $$

то есть фактически в сужении $\hat R^2_n \equiv \exp(i \phi_n) \hat I$ и значит он эрмитов в каждом $\ker (\hat U - \lambda_n \hat I)$ и значит эрмитов во всём $\mathscr H$. Так вроде понятно стало.

[vpb]

StaticZero
Вы путаете унитарные с эрмитовыми. Умножение на число, имеющее модуль $1$ --- унитарный, но не эрмитов (если это число $\ne\pm1$).
(Слегка видоизменяя утверждение выше) если $A$ и $B$ --- два таких оператора, что $A=A^\dagger$ и $B^\dagger AB=-A$, то отсюда совсем не следует, что $B=B^\dagger$, даже при условии, что $B$ унитарен (можно взять две матрицы $2\times2$, $A$ --- диагональная с $1$ и $-1$, а $B$ подберите сами). Вообще, про всякие такие утверждения сначала смотрите, верны ли они в конечномерном случае, а только потом уже на гильбертовом пространстве.
Короче, то, что они там якобы доказывают, неверно. Или скорее всего, Вы неправильно перевели (я так и думал, что это из англоязычной статьи).

[StaticZero]

vpb в сообщении #1373855 писал(а):

можно взять две матрицы $2\times2$, $A$ --- диагональная с $1$ и $-1$, а $B$ подберите сами

Проверил. Ни туда, ни обратно утверждение неверно. Значит, ерунда.

Спасибо! А я было чуть не поверил.

[g______d]

StaticZero, а этот оператор $\hat R$ — он линейный? Или, например, антилинейный?

[StaticZero]

g______d в сообщении #1373914 писал(а):

StaticZero, а этот оператор $\hat R$ — он линейный? Или, например, антилинейный?

Общего вида.

[g______d]

StaticZero в сообщении #1373917 писал(а):

Общего вида.

Что это значит?

Если он антилинейный (например, оператор обращения времени), то там определение эрмитовости другое. Посмотрите в тексте.

[StaticZero]

g______d в сообщении #1373918 писал(а):

Посмотрите в тексте.

Цитата:

First, the chiral symmetry operator has to be unitary and Hermitian, $\hat R = \hat R^\dagger$, which can be written succintly as

$$ \hat R^\dagger \hat R= \hat R^2 = \hat I. $$

А дальше то, что обсудили в теме.

[g______d]

StaticZero в сообщении #1373716 писал(а):

Говорят при этом следующие слова: предположим, что $\hat R^2$ отличен от единицы, тогда он представляет собой унитарную симметрию

Я нашёл источник. Я так понял, что слова -- это не следствие того, что он унитарный и эрмитов, а мотивация, почему он таким должен быть: если его квадрат не единица, то можно редуцировать к подпространству меньшей размерности.

[StaticZero]

g______d в сообщении #1373930 писал(а):

почему он таким должен быть: если его квадрат не единица, то можно редуцировать к подпространству меньшей размерности.

Вот это и не является понятным. Выкинуть этот текст можно, и, вероятно, плохо от этого в обозримом будущем не станет, но зачем-то же его туда вставили?

Тем более когда идёшь по незнакомой дорожке, можно нарваться на одно такое непонятное место, пропуск которого всё поломает. И это заканчивается тогда очень плохо.

[g______d]

StaticZero в сообщении #1373938 писал(а):

Вот это и не является понятным. Выкинуть этот текст можно, и, вероятно, плохо от этого в обозримом будущем не станет, но зачем-то же его туда вставили?

Я так понимаю, что в этой науке гамильтонианы обычно конечномерные.

В бесконечномерном случае есть более серьёзные проблемы: это

StaticZero в сообщении #1373716 писал(а):

подпространства $\ker (\hat U - \lambda_n \hat I)$, прямая сумма которых даст всё гильбертово пространство

может оказаться неверным в случае, если есть непрерывный спектр.

В любом случае, определение они дали, я бы прочитал но очень близко к сердцу не принимал мотивационную часть.

[StaticZero]

g______d в сообщении #1373940 писал(а):

Я так понимаю, что в этой науке гамильтонианы обычно конечномерные.

Так и для конечномерного случая, как учит vpb, оказывается, что это без дополнительных указаний какая-то хрень не слишком понятная "мотивация".

Ладно, тогда я об этом забуду. До поры.