2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Унитарная симметрия
Сообщение03.02.2019, 04:55 
Аватара пользователя


22/06/12
1406
Говорят, что гамильтониан обладает унитарной симметрией $\hat U$, если верно
$$
\hat U^\dagger \hat H \hat U = \hat H, \eqno{(*)}
$$
где $\hat U$ --- унитарный.

Говорят, что гамильтониан обладает хиральной симметрией $\hat R$, если верно
$$
\hat R^\dagger \hat H \hat R = - \hat H,
$$
где $\hat R$ --- унитарный и эрмитов. Умножим здесь слева на $\hat R^\dagger$ и справа на $\hat R$, будет тогда $(\hat R^\dagger)^2 \hat H \hat R^2 = \hat H$, с другой стороны оператор $\hat R^2$ унитарный. Говорят при этом следующие слова: предположим, что $\hat R^2$ отличен от единицы, тогда он представляет собой унитарную симметрию, которую можно выгнать следующим образом: заметим, что $(*)$ даёт $[\hat U, \hat H] = 0$, значит можно выбрать общий базис и сузить $\hat H$ на подпространства $\ker (\hat U - \lambda_n \hat I)$, прямая сумма которых даст всё гильбертово пространство. Там унитарной симметрии уже не будет, и значит без потери общности можно считать, что её и так нет и тогда $\hat R^2 = \hat I$, что даёт $\hat R = \hat R^{-1} = \hat R^\dagger$ (то есть если верно $\hat R^\dagger \hat H \hat R = - \hat H$, то $\hat R$ обязательно эрмитов и унитарный и другого быть не может, это доказательство такое).

У меня вопрос. А в $\ker (\hat U - \lambda_n \hat I)$ что, не найдётся уже унитарной симметрии для сужения $\hat H$ на это подпространство? Эта процедура "изгнания унитарной симметрии" точно закончится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Унитарная симметрия
Сообщение03.02.2019, 11:51 
Заслуженный участник


18/01/15
1226
Что-то непонятно. Если оператор $A$ одновременно унитарен и эрмитов, то он в любом случае в квадрате единица. Действительно, унитарность означает $AA^\dagger=A^\dagger A=E$, эрмитовость --- $A=A^\dagger$, откуда очевидно $A^2=AA^\dagger=E$.
Кроме того, если $A$ и $B$ --- два таких оператора, что $A=A^\dagger$ и $B^\dagger AB=-A$, то отсюда совсем не следует, что $B=B^\dagger$ или $B$ унитарен (можно взять две матрицы $2\times2$, $A$ --- диагональная с $1$ и $-1$, а $B$ подберите сами). В общем, ерунда какая-то...

 Профиль  
                  
 
 Re: Унитарная симметрия
Сообщение03.02.2019, 15:26 
Аватара пользователя


22/06/12
1406
Ах, это я не понял написанного (да, текст для русскоязычного читателя написан по-моему не очень хорошо, слишком много словесного мусора). Там оператор $\hat R$ подразумевается исходно унитарным, говорится, что если он удовлетворяет
StaticZero в сообщении #1373716 писал(а):
$$
\hat R^\dagger \hat H \hat R = - \hat H,
$$

то он автоматически эрмитов.

Доказывают так.
StaticZero в сообщении #1373716 писал(а):
Умножим здесь слева на $\hat R^\dagger$ и справа на $\hat R$, будет тогда $(\hat R^\dagger)^2 \hat H \hat R^2 = \hat H$

говорят потом, что $\hat R^2$ унитарный, так как $\hat R^2 (\hat R^\dagger)^2 = \hat R \hat R \hat R^\dagger \hat R^\dagger = \hat I$. Обозначим $\hat U = \hat R^2$, имеем вот это
StaticZero в сообщении #1373716 писал(а):
$$
\hat U^\dagger \hat H \hat U = \hat H
$$

Это то же самое, что $[\hat U, \hat H] = 0$. Развалим гильбертово пространство в прямую сумму собственных подпространств $\hat U$: $\mathscr H = \bigoplus \ker(\hat U -  \exp(i \phi_n) \hat I)$. Рассмотрим сужение ситуации на каждое из этих подпространств; в них $\hat U_n \equiv \exp(i \phi_n) \hat I$ и верно
$$
\exp(-i \phi_n) \hat H_n \exp(i \phi_n) = \hat H_n
$$
то есть фактически в сужении $\hat R^2_n \equiv \exp(i \phi_n) \hat I$ и значит он эрмитов в каждом $\ker (\hat U - \lambda_n \hat I)$ и значит эрмитов во всём $\mathscr H$. Так вроде понятно стало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Унитарная симметрия
Сообщение03.02.2019, 16:50 
Заслуженный участник


18/01/15
1226
StaticZero
Вы путаете унитарные с эрмитовыми. Умножение на число, имеющее модуль $1$ --- унитарный, но не эрмитов (если это число $\ne\pm1$).
(Слегка видоизменяя утверждение выше) если $A$ и $B$ --- два таких оператора, что $A=A^\dagger$ и $B^\dagger AB=-A$, то отсюда совсем не следует, что $B=B^\dagger$, даже при условии, что $B$ унитарен (можно взять две матрицы $2\times2$, $A$ --- диагональная с $1$ и $-1$, а $B$ подберите сами). Вообще, про всякие такие утверждения сначала смотрите, верны ли они в конечномерном случае, а только потом уже на гильбертовом пространстве.
Короче, то, что они там якобы доказывают, неверно. Или скорее всего, Вы неправильно перевели (я так и думал, что это из англоязычной статьи).

 Профиль  
                  
 
 Re: Унитарная симметрия
Сообщение03.02.2019, 17:40 
Аватара пользователя


22/06/12
1406
vpb в сообщении #1373855 писал(а):
можно взять две матрицы $2\times2$, $A$ --- диагональная с $1$ и $-1$, а $B$ подберите сами

Проверил. Ни туда, ни обратно утверждение неверно. Значит, ерунда.

Спасибо! А я было чуть не поверил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Унитарная симметрия
Сообщение03.02.2019, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5513
StaticZero, а этот оператор $\hat R$ — он линейный? Или, например, антилинейный?

 Профиль  
                  
 
 Re: Унитарная симметрия
Сообщение03.02.2019, 21:13 
Аватара пользователя


22/06/12
1406
g______d в сообщении #1373914 писал(а):
StaticZero, а этот оператор $\hat R$ — он линейный? Или, например, антилинейный?

Общего вида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Унитарная симметрия
Сообщение03.02.2019, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5513
StaticZero в сообщении #1373917 писал(а):
Общего вида.


Что это значит?

Если он антилинейный (например, оператор обращения времени), то там определение эрмитовости другое. Посмотрите в тексте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Унитарная симметрия
Сообщение03.02.2019, 21:44 
Аватара пользователя


22/06/12
1406
g______d в сообщении #1373918 писал(а):
Посмотрите в тексте.

Цитата:
First, the chiral symmetry operator has to be unitary and Hermitian, $\hat R = \hat R^\dagger$, which can be written succintly as
$$
\hat R^\dagger \hat R= \hat R^2 = \hat I.
$$

А дальше то, что обсудили в теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Унитарная симметрия
Сообщение03.02.2019, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5513
StaticZero в сообщении #1373716 писал(а):
Говорят при этом следующие слова: предположим, что $\hat R^2$ отличен от единицы, тогда он представляет собой унитарную симметрию


Я нашёл источник. Я так понял, что слова -- это не следствие того, что он унитарный и эрмитов, а мотивация, почему он таким должен быть: если его квадрат не единица, то можно редуцировать к подпространству меньшей размерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Унитарная симметрия
Сообщение04.02.2019, 01:28 
Аватара пользователя


22/06/12
1406
g______d в сообщении #1373930 писал(а):
почему он таким должен быть: если его квадрат не единица, то можно редуцировать к подпространству меньшей размерности.

Вот это и не является понятным. Выкинуть этот текст можно, и, вероятно, плохо от этого в обозримом будущем не станет, но зачем-то же его туда вставили?

Тем более когда идёшь по незнакомой дорожке, можно нарваться на одно такое непонятное место, пропуск которого всё поломает. И это заканчивается тогда очень плохо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Унитарная симметрия
Сообщение04.02.2019, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5513
StaticZero в сообщении #1373938 писал(а):
Вот это и не является понятным. Выкинуть этот текст можно, и, вероятно, плохо от этого в обозримом будущем не станет, но зачем-то же его туда вставили?


Я так понимаю, что в этой науке гамильтонианы обычно конечномерные.

В бесконечномерном случае есть более серьёзные проблемы: это

StaticZero в сообщении #1373716 писал(а):
подпространства $\ker (\hat U - \lambda_n \hat I)$, прямая сумма которых даст всё гильбертово пространство


может оказаться неверным в случае, если есть непрерывный спектр.

В любом случае, определение они дали, я бы прочитал но очень близко к сердцу не принимал мотивационную часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Унитарная симметрия
Сообщение04.02.2019, 01:40 
Аватара пользователя


22/06/12
1406
g______d в сообщении #1373940 писал(а):
Я так понимаю, что в этой науке гамильтонианы обычно конечномерные.

Так и для конечномерного случая, как учит vpb, оказывается, что это без дополнительных указаний какая-то хрень не слишком понятная "мотивация".

Ладно, тогда я об этом забуду. До поры.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group