Задача о теплопроводности

[equilibria]

Уважаемые специалисты!
Прошу помощи в решении задачи по расчету теплового потока, проходящего через однородный слой вещества, если известна толщина этого слоя, его теплопроводность и температура на верхней и нижней границе слоя.
Для решения используется закон Фурье для однослойной плоской стенки:
$F = k \frac{dT}{dZ}$,
где $k$ - теплопроводность, которая в нашем случае зависит от температуры: $k=\frac{\chi}{T}$.
Начальное и конечное значение температуры на верхней и нижней границе слоя $T_1$, $T_2, известны, $T_2>T_1$. Толщина слоя задается через координаты $Z_1$ и $Z_2$ как $Z_1-Z_2$, $Z_1>Z_2$.

Надо получить простое уравнение для расчета потока $F$ без дифференциалов.
У меня есть статья, где подобная задача разобрана на примере ледяных оболочек спутников (https://d.radikal.ru/d09/1902/21/b939b59ac82e.jpg). Хотелось сделать так же (получить из формулы (14) формулу (15)), но не получается.

Как я делала (по найденной в интернете аналогии с уравнением $v=\frac{dS}{dt}$):
$F dZ = \frac{\chi}{T} dT$
Интегрируем левую и правую части:
$F\cdot Z = \chi\ln(T)$
Далее, вроде бы, должна быть подстановка пределов интегрирования:
$F\cdot Z \,\bigg|_{Z_1}^{Z_2} = \chi\ln(T)\,\bigg|_{T_1}^{T_2}$

$F({Z_2}-{Z_1})= \chi\ln(\frac{T_2}{T_1})$
А дальше ничего не получается: $F=\frac{ \chi\ln(\frac{T_2}{T_1})}{{Z_2}-{Z_1}} $

Потому что в статье написано: $F=\frac{\chi \ln(\frac{T_2}{T_1})\cdot({Z_1}-{Z_2})}{{Z_2}\cdot{Z_1}} $.
Вопрос: ПОЧЕМУ?
Т.е. я, кажется, понимаю, откуда:
$F\cdot Z = \chi\ln(T)$
$F = \chi\ln(T)\cdot\frac{1}{Z}$

$F = \chi\ln(T)\cdot\frac{1}{Z} \,\bigg|_{T_1}^{T_2} \,\bigg |_{Z_1}^{Z_2} = \chi\ln(\frac{T_2}{T_1})\cdot(\frac{1}{Z_2}-\frac{1}{Z_1})$
Но не понимаю, почему? И где вообще можно посмотреть примеры и правила такой двойной подстановки?
Я перечитала все темы про определенные интегралы и не понимаю все равно, откуда такой ответ?
Почему в уравнении скорости не так? Там же будет $v=\frac{ {S_2}-{S_1}}{{t_2}-{t_1}} $ ?

[Pphantom]

equilibria, не стоит задавать вопросы в теме, последние сообщения в которой были написаны десять лет назад.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- наберите правильно отдельные обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- изложите нормально условие (что такое "толщины", которые пока что имеют смысл координат концов отрезка?);
- о какой "статье" идет речь?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 02.02.2019, 00:11 --

В статье решается задача для сферических слоев, а у вас она плоская. Ответ в подобной ситуации просто обязан быть разным. Ну и для своей постановки вы все делаете правильно.

[DimaM]

equilibria в сообщении #1373403 писал(а):

Вопрос: ПОЧЕМУ?

Потому что поток тепла $F$ (мощность, протекающая через единицу площади) в вашем плоском случае постоянен, а в сферическом - нет (там постоянна полная мощность, протекающая через любую сферу). Соответственно, $F(Z)dZ$ тоже нужно правильно проинтегрировать в левой части.

[equilibria]

Спасибо!
А вот как получить зависимость $F(Z)$ в сферическом теле? Это известная теория? Я сходу не нашла в интернете таких уравнений.
В статье про это также ничего нет.
Приходит в голову только выразить поверхностный поток $F$ через площадь поверхности сферы, которая зависит от радиуса.
При постоянном потоке $H$ из центра шара (который мы не знаем), поверхностный поток будет $F=\frac{H}{S}=\frac{H}{4\pi\cdot{Z}^2}$.
Получается две разных величины - общий поток, $H$ (W) и поток на поверхности $F\left(\frac{W}{m^2}\right)$.
Интеграл $F(Z) dZ$ будет равен $\int_{Z_1}^{Z_2} \frac{H}{4\pi\cdot{Z}^2} dZ = - \frac{H}{4\pi}\cdot\frac{1}{Z}\, \bigg|_{Z_1}^{Z_2}$. Правильно?
Тогда получится:
$- \frac{H}{4\pi}\cdot(\frac{1}{Z_2}-\frac{1}{Z_1})=\chi\cdot\ln(\frac{T_2}{T_1})$
Но тогда:
$H=\frac{-4\pi\chi\ln(\frac{T_2}{T_1})}{\frac{1}{Z_2}-\frac{1}{Z_1}}=-4\pi\chi\ln(\frac{T_2}{T_1})\cdot\frac{Z_1-Z_2}{{Z_2}\cdot{Z_1}}$.
Это уже похоже! Но куда деть минус, $4\pi$, и как перейти опять к $F$?
По формуле $H=F\cdot4\pi\cdot{Z^2}$ ? Но тогда в левой части опять будет$Z^2$..

[amon]

equilibria в сообщении #1373627 писал(а):

А вот как получить зависимость $F(Z)$ в сферическом теле?

Вообще-то Ваше $F$ это вектор - плотность потока тепла $\vec{F},$ а уравнение Фурье выглядит так:

$$\vec{F}=k\nabla T.$$

В случае пластины Вам повезло, $\vec{F}$ имел только одну компоненту и уравнение выглядело как скалярное. В случае сферы Вам тоже повезет, если Вы исхитритесь написать градиент в сферических координатах. Отличной от нуля окажется только $R$-компонента, и для нее получится некое обыкновенное дифференциальное уравнение.

[realeugene]

equilibria в сообщении #1373627 писал(а):

Интеграл $F(Z) dZ$ будет равен $\int_{Z_1}^{Z_2} \frac{H}{4\pi\cdot{Z}^2} dZ = - \frac{H}{4\pi}\cdot\frac{1}{Z}\, \bigg|_{Z_1}^{Z_2}$. Правильно?

С какой целью вы считаете именно этот интеграл?
Чему равно падение температуры на тонком сферическом слое? Вот это падение температуры и просуммируйте по тонким слоям от одного радиуса до второго, чтобы получить полный перепад температур.

Переход в сферические координаты - это, конечно, здорово в качестве универсального метода, но эта стационарная задача решается тривиально через сохранение энергии, как вы и написали сами, пусть и споткнувшись на полпути.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1373726 писал(а):

С какой целью вы считаете именно этот интеграл?
Чему равно падение температуры на тонком сферическом слое? Вот это падение температуры и просуммируйте по тонким слоям от одного радиуса до второго, чтобы получить полный перепад температур.

Так этот интеграл примерно то и означает.

equilibria в сообщении #1373403 писал(а):

Потому что в статье написано: $F=\frac{\chi \ln(\frac{T_2}{T_1})\cdot({Z_1}-{Z_2})}{{Z_2}\cdot{Z_1}} $.
Вопрос: ПОЧЕМУ?

По размышлении сдается мне, что эта формула неверна. При конечном перепаде температуры и устремлении толщины слоя к нулю $(Z_1\to Z_2)$ поток должен стремиться к бесконечности, а не к нулю, как получается из этой формулы.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1373747 писал(а):

По размышлении сдается мне, что эта формула неверна.

Разумеется, логарифм вылазит только для цилиндра, но никак не для сферы.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1373754 писал(а):

Разумеется, логарифм вылазит только для цилиндра, но никак не для сферы.

Будьте внимательнее: логарифм в этой теме вылазит из-за температурной зависимости коэффициента теплопроводности.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1373755 писал(а):

Будьте внимательнее: логарифм в этой теме вылазит из-за температурной зависимости коэффициента теплопроводности.

Да, действительно, если коэффициент теплопроводности обратно пропорционален температуре.

Формула из статьи, действительно, ошибочна.Правильная формула следующая: $F=\chi_0 \frac{r_1}{r_2\left(r_2-r_1\right)}\ln\frac{T_1}{T_2}$
Всё чуть сложнее. В статье $Z_{ice}$ - это, очевидно, толщина льда, а не радиус. Формула в статье получена в первом порядке малости отношения толщины льда к радиусу. К сожалению, в этом куцом скане не видно обозначений.

[equilibria]

Спасибо!
Но какое уравнение вы интегрировали в левой части?
Вот это вот суммирование слоев по радиусу, чтобы выразить перепад температуры, там же тоже будет величина $F$, которая в каждом минислое своя. Вот ее, как функцию от радиуса, откуда брать? Подскажите, пожалуйста.

[realeugene]

equilibria в сообщении #1373860 писал(а):

Вот ее, как функцию от радиуса, откуда брать? Подскажите, пожалуйста.

Из закона сохранения энергии. В стационарном режиме энергия нигде не накапливается. Это значит, что полный тепловой поток через любую поверхность вокруг источника в центре одинаков. В случае сферы из сферической симметрии задачи немедленно получаем, что плотность теплового потока зависит только от радиуса, но не от углов, и её интеграл по сфере некоторого радиуса берётся тривиально. Из независимости этого интеграла от радиуса немедленно следует выражение для плотности теплового потока, выраженной через полный тепловой поток и радиус. Вы уже и так всё сами сделали. Остаётся решить дифференциальное уравнение для разности температур при заданном тепловом потоке и найти тепловой поток (и, таким образом, плотность теплового потока) исходя из разности температур (или же задав осмысленные краевые условия для этих температур, выраженных через тепловой поток).

[equilibria]

Я пытаюсь уже который час.. и понимаю, что я не понимаю какую-то простую для всех вещь..
"выражение для плотности теплового потока, выраженной через полный тепловой поток и радиус".
Это есть:
$F=\frac{H}{4\pi{R}^2}$.
"Остаётся решить дифференциальное уравнение для разности температур при заданном тепловом потоке и найти тепловой поток исходя из разности температур".
Имеется в виду полный тепловой поток?
Тогда разность температур при заданном полном тепловом потоке будет выглядеть $dT=\frac{H}{4\pi{R}^2\cdot\chi}\cdot{dR}$

"и найти тепловой поток исходя из разности температур"
$H=\frac{dT}{dR}\cdot\chi\cdot4\pi\cdot{R}^2$

Пока правильно?
Я чувствую, что хожу по кругу..