2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача о теплопроводности
Сообщение01.02.2019, 18:27 


05/04/16
36
Уважаемые специалисты!
Прошу помощи в решении задачи по расчету теплового потока, проходящего через однородный слой вещества, если известна толщина этого слоя, его теплопроводность и температура на верхней и нижней границе слоя.
Для решения используется закон Фурье для однослойной плоской стенки:
$F = k \frac{dT}{dZ}$,
где $k$ - теплопроводность, которая в нашем случае зависит от температуры: $k=\frac{\chi}{T}$.
Начальное и конечное значение температуры на верхней и нижней границе слоя $T_1$, $T_2, известны, $T_2>T_1$. Толщина слоя задается через координаты $Z_1$ и $Z_2$ как $Z_1-Z_2$, $Z_1>Z_2$.

Надо получить простое уравнение для расчета потока $F$ без дифференциалов.
У меня есть статья, где подобная задача разобрана на примере ледяных оболочек спутников (https://d.radikal.ru/d09/1902/21/b939b59ac82e.jpg). Хотелось сделать так же (получить из формулы (14) формулу (15)), но не получается.

Как я делала (по найденной в интернете аналогии с уравнением $v=\frac{dS}{dt}$):
$F dZ = \frac{\chi}{T} dT$
Интегрируем левую и правую части:
$F\cdot Z  = \chi\ln(T)$
Далее, вроде бы, должна быть подстановка пределов интегрирования:
$F\cdot Z \,\bigg|_{Z_1}^{Z_2} = \chi\ln(T)\,\bigg|_{T_1}^{T_2}$

$F({Z_2}-{Z_1})= \chi\ln(\frac{T_2}{T_1})$
А дальше ничего не получается: $F=\frac{ \chi\ln(\frac{T_2}{T_1})}{{Z_2}-{Z_1}} $

Потому что в статье написано: $F=\frac{\chi \ln(\frac{T_2}{T_1})\cdot({Z_1}-{Z_2})}{{Z_2}\cdot{Z_1}} $.
Вопрос: ПОЧЕМУ?
Т.е. я, кажется, понимаю, откуда:
$F\cdot Z  = \chi\ln(T)$
$F = \chi\ln(T)\cdot\frac{1}{Z}$

$F = \chi\ln(T)\cdot\frac{1}{Z} \,\bigg|_{T_1}^{T_2} \,\bigg |_{Z_1}^{Z_2} = \chi\ln(\frac{T_2}{T_1})\cdot(\frac{1}{Z_2}-\frac{1}{Z_1})$
Но не понимаю, почему? И где вообще можно посмотреть примеры и правила такой двойной подстановки?
Я перечитала все темы про определенные интегралы и не понимаю все равно, откуда такой ответ?
Почему в уравнении скорости не так? Там же будет $v=\frac{ {S_2}-{S_1}}{{t_2}-{t_1}} $ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о теплопроводности
Сообщение01.02.2019, 18:44 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  equilibria, не стоит задавать вопросы в теме, последние сообщения в которой были написаны десять лет назад.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.02.2019, 18:48 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- наберите правильно отдельные обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- изложите нормально условие (что такое "толщины", которые пока что имеют смысл координат концов отрезка?);
- о какой "статье" идет речь?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение02.02.2019, 00:05 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»


-- 02.02.2019, 00:11 --

В статье решается задача для сферических слоев, а у вас она плоская. Ответ в подобной ситуации просто обязан быть разным. Ну и для своей постановки вы все делаете правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о теплопроводности
Сообщение02.02.2019, 09:14 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
equilibria в сообщении #1373403 писал(а):
Вопрос: ПОЧЕМУ?

Потому что поток тепла $F$ (мощность, протекающая через единицу площади) в вашем плоском случае постоянен, а в сферическом - нет (там постоянна полная мощность, протекающая через любую сферу). Соответственно, $F(Z)dZ$ тоже нужно правильно проинтегрировать в левой части.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о теплопроводности
Сообщение02.02.2019, 15:45 


05/04/16
36
Спасибо!
А вот как получить зависимость $F(Z)$ в сферическом теле? Это известная теория? Я сходу не нашла в интернете таких уравнений.
В статье про это также ничего нет.
Приходит в голову только выразить поверхностный поток $F$ через площадь поверхности сферы, которая зависит от радиуса.
При постоянном потоке $H$ из центра шара (который мы не знаем), поверхностный поток будет $F=\frac{H}{S}=\frac{H}{4\pi\cdot{Z}^2}$.
Получается две разных величины - общий поток, $H$ (W) и поток на поверхности $F\left(\frac{W}{m^2}\right)$.
Интеграл $F(Z) dZ$ будет равен $\int_{Z_1}^{Z_2} \frac{H}{4\pi\cdot{Z}^2} dZ = - \frac{H}{4\pi}\cdot\frac{1}{Z}\, \bigg|_{Z_1}^{Z_2}$. Правильно?
Тогда получится:
$- \frac{H}{4\pi}\cdot(\frac{1}{Z_2}-\frac{1}{Z_1})=\chi\cdot\ln(\frac{T_2}{T_1})$
Но тогда:
$H=\frac{-4\pi\chi\ln(\frac{T_2}{T_1})}{\frac{1}{Z_2}-\frac{1}{Z_1}}=-4\pi\chi\ln(\frac{T_2}{T_1})\cdot\frac{Z_1-Z_2}{{Z_2}\cdot{Z_1}}$.
Это уже похоже! Но куда деть минус, $4\pi$, и как перейти опять к $F$?
По формуле $H=F\cdot4\pi\cdot{Z^2}$ ? Но тогда в левой части опять будет$Z^2$..

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о теплопроводности
Сообщение03.02.2019, 02:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
equilibria в сообщении #1373627 писал(а):
А вот как получить зависимость $F(Z)$ в сферическом теле?
Вообще-то Ваше $F$ это вектор - плотность потока тепла $\vec{F},$ а уравнение Фурье выглядит так:$$\vec{F}=k\nabla T.$$В случае пластины Вам повезло, $\vec{F}$ имел только одну компоненту и уравнение выглядело как скалярное. В случае сферы Вам тоже повезет, если Вы исхитритесь написать градиент в сферических координатах. Отличной от нуля окажется только $R$-компонента, и для нее получится некое обыкновенное дифференциальное уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о теплопроводности
Сообщение03.02.2019, 07:45 


27/08/16
10151
equilibria в сообщении #1373627 писал(а):
Интеграл $F(Z) dZ$ будет равен $\int_{Z_1}^{Z_2} \frac{H}{4\pi\cdot{Z}^2} dZ = - \frac{H}{4\pi}\cdot\frac{1}{Z}\, \bigg|_{Z_1}^{Z_2}$. Правильно?
С какой целью вы считаете именно этот интеграл?
Чему равно падение температуры на тонком сферическом слое? Вот это падение температуры и просуммируйте по тонким слоям от одного радиуса до второго, чтобы получить полный перепад температур.

Переход в сферические координаты - это, конечно, здорово в качестве универсального метода, но эта стационарная задача решается тривиально через сохранение энергии, как вы и написали сами, пусть и споткнувшись на полпути.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о теплопроводности
Сообщение03.02.2019, 11:14 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
realeugene в сообщении #1373726 писал(а):
С какой целью вы считаете именно этот интеграл?
Чему равно падение температуры на тонком сферическом слое? Вот это падение температуры и просуммируйте по тонким слоям от одного радиуса до второго, чтобы получить полный перепад температур.
Так этот интеграл примерно то и означает.

equilibria в сообщении #1373403 писал(а):
Потому что в статье написано: $F=\frac{\chi \ln(\frac{T_2}{T_1})\cdot({Z_1}-{Z_2})}{{Z_2}\cdot{Z_1}} $.
Вопрос: ПОЧЕМУ?
По размышлении сдается мне, что эта формула неверна. При конечном перепаде температуры и устремлении толщины слоя к нулю $(Z_1\to Z_2)$ поток должен стремиться к бесконечности, а не к нулю, как получается из этой формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о теплопроводности
Сообщение03.02.2019, 11:36 


27/08/16
10151
DimaM в сообщении #1373747 писал(а):
По размышлении сдается мне, что эта формула неверна.
Разумеется, логарифм вылазит только для цилиндра, но никак не для сферы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о теплопроводности
Сообщение03.02.2019, 11:38 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
realeugene в сообщении #1373754 писал(а):
Разумеется, логарифм вылазит только для цилиндра, но никак не для сферы.

Будьте внимательнее: логарифм в этой теме вылазит из-за температурной зависимости коэффициента теплопроводности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о теплопроводности
Сообщение03.02.2019, 11:50 


27/08/16
10151
DimaM в сообщении #1373755 писал(а):
Будьте внимательнее: логарифм в этой теме вылазит из-за температурной зависимости коэффициента теплопроводности.
Да, действительно, если коэффициент теплопроводности обратно пропорционален температуре.

Формула из статьи, действительно, ошибочна.Правильная формула следующая: $F=\chi_0 \frac{r_1}{r_2\left(r_2-r_1\right)}\ln\frac{T_1}{T_2}$
Всё чуть сложнее. В статье $Z_{ice}$ - это, очевидно, толщина льда, а не радиус. Формула в статье получена в первом порядке малости отношения толщины льда к радиусу. К сожалению, в этом куцом скане не видно обозначений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о теплопроводности
Сообщение03.02.2019, 17:02 


05/04/16
36
Спасибо!
Но какое уравнение вы интегрировали в левой части?
Вот это вот суммирование слоев по радиусу, чтобы выразить перепад температуры, там же тоже будет величина $F$, которая в каждом минислое своя. Вот ее, как функцию от радиуса, откуда брать? Подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о теплопроводности
Сообщение03.02.2019, 18:33 


27/08/16
10151
equilibria в сообщении #1373860 писал(а):
Вот ее, как функцию от радиуса, откуда брать? Подскажите, пожалуйста.
Из закона сохранения энергии. В стационарном режиме энергия нигде не накапливается. Это значит, что полный тепловой поток через любую поверхность вокруг источника в центре одинаков. В случае сферы из сферической симметрии задачи немедленно получаем, что плотность теплового потока зависит только от радиуса, но не от углов, и её интеграл по сфере некоторого радиуса берётся тривиально. Из независимости этого интеграла от радиуса немедленно следует выражение для плотности теплового потока, выраженной через полный тепловой поток и радиус. Вы уже и так всё сами сделали. Остаётся решить дифференциальное уравнение для разности температур при заданном тепловом потоке и найти тепловой поток (и, таким образом, плотность теплового потока) исходя из разности температур (или же задав осмысленные краевые условия для этих температур, выраженных через тепловой поток).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о теплопроводности
Сообщение03.02.2019, 19:23 


05/04/16
36
Я пытаюсь уже который час.. и понимаю, что я не понимаю какую-то простую для всех вещь..
"выражение для плотности теплового потока, выраженной через полный тепловой поток и радиус".
Это есть:
$F=\frac{H}{4\pi{R}^2}$.
"Остаётся решить дифференциальное уравнение для разности температур при заданном тепловом потоке и найти тепловой поток исходя из разности температур".
Имеется в виду полный тепловой поток?
Тогда разность температур при заданном полном тепловом потоке будет выглядеть $dT=\frac{H}{4\pi{R}^2\cdot\chi}\cdot{dR}$

"и найти тепловой поток исходя из разности температур"
$H=\frac{dT}{dR}\cdot\chi\cdot4\pi\cdot{R}^2$

Пока правильно?
Я чувствую, что хожу по кругу..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group