Поведение решения ДУ

[assik]

Рассматривается следующая задача

$ \begin{cases} x'(t)=\left[1-\delta\,y(t)\right] f_1\left(t,\,x(t),\,y(t)\right),\\[5pt] y'(t)=\left[1-\delta\,y(t)\right] f_2\left(t,\,x(t),\,y(t)\right), \end{cases} $

$x(0)=0,\quad y(0)=y_0,$

где $\delta>0$, $y_0>0$, $1-\delta\,y_0>0$, $f_1(t,\,x,\,y),\,f_2(t,\,x,\,y)-$ некоторые функции. Доказано, что ее единственное решение можно продолжить до точки $t=\pi/2$. При этом

$f_i(t,\,x(t),\,y(t))>0,\quad t\in\left[0,\,\pi/2\right],\quad i=1,\,2.$

Требуется показать , что на множестве $\left(0,\,\pi/2\right]$ не существует ни одной точки, в которой функция $1-\delta\,y(t)$ обращалась бы в нуль. Последнее следует из численных расчетов. Пока рассуждения таковы. Предположим, что указанная точка все же существует: $1-\delta\,y(\tau)=0$. Тогда до точки $t=\tau$ функции $x(t)$ и $y(t)$ строго возрастают. Поэтому на отрезке $x\in \left[0,\,r=x(\tau)\right]$ можно определить непрерывно-дифференцируемую функцию $y=y(x)$. Исследуем на сходимость интеграл

$ I=\int\limits_{0}^{r}\frac{y'(x)}{1-\delta\,y(x)}dx. $

Этот интеграл будет сходиться только в том случае, если $1-\delta\,y(r)>0$. С другой стороны

$ I=\int\limits_{0}^{r}\frac{y'(x)}{1-\delta\,y(x)}dx=\int\limits_{0}^{\tau}f_2\left(t,\,x(t),\,y(t)\right) dt<\infty. $

откуда и вытекает, что $1-\delta\,y(r) $ не может никак равняться нулю. Годится ли такое док-во?

[dsge]

Если бы такая точка существовала, то она была бы неподвижной точкой. Обычно решения стремятся к неподвижной точке бесконечно долго, асимптотически, даже для неавтономных систем, если все в порядке с единственностью.
Т.е. тогда бы $1-\delta y(0)$ равнялось нулю. Что противоречит условию $1-\delta y(0)>0$.

[assik]

dsge в сообщении #1372460 писал(а):

Если бы такая точка существовала, то она была бы неподвижной точкой. Обычно решения стремятся к неподвижной точке бесконечно долго, асимптотически, даже для неавтономных систем, если все в порядке с единственностью.
Т.е. тогда бы $1-\delta y(0)$ равнялось нулю. Что противоречит условию $1-\delta y(0)>0$.

Можете порекомендовать литературу на эту тему?

[dsge]

Любой учебник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, например, Понтрягина. Но здесь легко понять и без литературы. Если сказать другими словами, то если при каких-то х и у правая часть вашей системы обнуляется, то это будет неподвижная точка, т. е. решение будет находится в этой точке вечно, производные х и у равны 0 , т.е. эти функции не меняются. В том числе в момент времени 0, значит и $y_0$ неподвижная точка, значит $1-\delta y_0 =0$, противоречие. Но при таких аргументах нужна единственность решения, которая обеспечивается липшицевостью правых частей.

[assik]

dsge в сообщении #1372603 писал(а):

В том числе в момент времени 0, значит и $y_0$ неподвижная точка, значит $1-\delta y_0 =0$, противоречие.

Если в точке $t=\tau>0$ выполнено равенство $1-\delta\,y(\tau)=0$, то

$x(t) \equiv x(\tau),\,\,y(t) \equiv \frac{1}{\delta},\qquad t>\tau.$

Но как это связано с начальными условиями?

[dsge]

assik в сообщении #1372683 писал(а):

Если в точке $t=\tau>0$ выполнено равенство $1-\delta\,y(\tau)=0$, то
$x(t) \equiv x(\tau),\,\,y(t) \equiv \frac{1}{\delta},\qquad t>\tau.$
Но как это связано с начальными условиями?

$x(t) \equiv x(\tau),\,\,y(t) \equiv \frac{1}{\delta}$ выполняется также при $ t<\tau$. Если начальные условия другие, то противоречие.

[assik]

dsge в сообщении #1372717 писал(а):

Если начальные условия другие, то противоречие.

Благодарствую за помощь

[B@R5uk]

assik в сообщении #1372456 писал(а):

Этот интеграл будет сходиться только в том случае, если $1-\delta\,y(r)>0$

Это не правда. Интеграл может вполне сходится (правда всё равно быть несобственным) в точке $x_0$, если подынтегральное выражение расходится в этой точке как функция

$$\frac{1}{|x-x_0|^{1-\varepsilon}}$$

где $\varepsilon>0$.

[assik]

B@R5uk в сообщении #1372842 писал(а):

Это не правда.

Я исходил из этого

$ I=\int\limits_{0}^{r}\frac{y'(x)}{1-\delta\,y(x)}\,dx=-\frac{1}{\delta}\ln|1-\delta\,y(x)|\big|_{0}^{r} $