2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поведение решения ДУ
Сообщение28.01.2019, 17:54 
Аватара пользователя


18/11/13
134
Рассматривается следующая задача
$
\begin{cases}
x'(t)=\left[1-\delta\,y(t)\right] f_1\left(t,\,x(t),\,y(t)\right),\\[5pt]
y'(t)=\left[1-\delta\,y(t)\right] f_2\left(t,\,x(t),\,y(t)\right),
\end{cases}
$

$x(0)=0,\quad y(0)=y_0,$

где $\delta>0$, $y_0>0$, $1-\delta\,y_0>0$, $f_1(t,\,x,\,y),\,f_2(t,\,x,\,y)-$ некоторые функции. Доказано, что ее единственное решение можно продолжить до точки $t=\pi/2$. При этом

$f_i(t,\,x(t),\,y(t))>0,\quad t\in\left[0,\,\pi/2\right],\quad i=1,\,2.$

Требуется показать , что на множестве $\left(0,\,\pi/2\right]$ не существует ни одной точки, в которой функция $1-\delta\,y(t)$ обращалась бы в нуль. Последнее следует из численных расчетов. Пока рассуждения таковы. Предположим, что указанная точка все же существует: $1-\delta\,y(\tau)=0$. Тогда до точки $t=\tau$ функции $x(t)$ и $y(t)$ строго возрастают. Поэтому на отрезке $x\in \left[0,\,r=x(\tau)\right]$ можно определить непрерывно-дифференцируемую функцию $y=y(x)$. Исследуем на сходимость интеграл

$
I=\int\limits_{0}^{r}\frac{y'(x)}{1-\delta\,y(x)}dx.
$

Этот интеграл будет сходиться только в том случае, если $1-\delta\,y(r)>0$. С другой стороны

$
I=\int\limits_{0}^{r}\frac{y'(x)}{1-\delta\,y(x)}dx=\int\limits_{0}^{\tau}f_2\left(t,\,x(t),\,y(t)\right) dt<\infty.
$


откуда и вытекает, что $1-\delta\,y(r) $ не может никак равняться нулю. Годится ли такое док-во?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поведение решения ДУ
Сообщение28.01.2019, 18:15 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Если бы такая точка существовала, то она была бы неподвижной точкой. Обычно решения стремятся к неподвижной точке бесконечно долго, асимптотически, даже для неавтономных систем, если все в порядке с единственностью.
Т.е. тогда бы $1-\delta y(0)$ равнялось нулю. Что противоречит условию $1-\delta y(0)>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поведение решения ДУ
Сообщение29.01.2019, 11:14 
Аватара пользователя


18/11/13
134
dsge в сообщении #1372460 писал(а):
Если бы такая точка существовала, то она была бы неподвижной точкой. Обычно решения стремятся к неподвижной точке бесконечно долго, асимптотически, даже для неавтономных систем, если все в порядке с единственностью.
Т.е. тогда бы $1-\delta y(0)$ равнялось нулю. Что противоречит условию $1-\delta y(0)>0$.

Можете порекомендовать литературу на эту тему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поведение решения ДУ
Сообщение29.01.2019, 13:00 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Любой учебник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, например, Понтрягина. Но здесь легко понять и без литературы. Если сказать другими словами, то если при каких-то х и у правая часть вашей системы обнуляется, то это будет неподвижная точка, т. е. решение будет находится в этой точке вечно, производные х и у равны 0 , т.е. эти функции не меняются. В том числе в момент времени 0, значит и $y_0$ неподвижная точка, значит $1-\delta y_0 =0$, противоречие. Но при таких аргументах нужна единственность решения, которая обеспечивается липшицевостью правых частей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поведение решения ДУ
Сообщение29.01.2019, 17:50 
Аватара пользователя


18/11/13
134
dsge в сообщении #1372603 писал(а):
В том числе в момент времени 0, значит и $y_0$ неподвижная точка, значит $1-\delta y_0 =0$, противоречие.

Если в точке $t=\tau>0$ выполнено равенство $1-\delta\,y(\tau)=0$, то
$x(t) \equiv x(\tau),\,\,y(t) \equiv \frac{1}{\delta},\qquad t>\tau.$

Но как это связано с начальными условиями?

 Профиль  
                  
 
 Re: Поведение решения ДУ
Сообщение29.01.2019, 19:51 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
assik в сообщении #1372683 писал(а):
Если в точке $t=\tau>0$ выполнено равенство $1-\delta\,y(\tau)=0$, то
$x(t) \equiv x(\tau),\,\,y(t) \equiv \frac{1}{\delta},\qquad t>\tau.$
Но как это связано с начальными условиями?

$x(t) \equiv x(\tau),\,\,y(t) \equiv \frac{1}{\delta}$ выполняется также при $ t<\tau$. Если начальные условия другие, то противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поведение решения ДУ
Сообщение30.01.2019, 09:37 
Аватара пользователя


18/11/13
134
dsge в сообщении #1372717 писал(а):
Если начальные условия другие, то противоречие.

Благодарствую за помощь :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Поведение решения ДУ
Сообщение30.01.2019, 10:53 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
assik в сообщении #1372456 писал(а):
Этот интеграл будет сходиться только в том случае, если $1-\delta\,y(r)>0$

Это не правда. Интеграл может вполне сходится (правда всё равно быть несобственным) в точке $x_0$, если подынтегральное выражение расходится в этой точке как функция $$\frac{1}{|x-x_0|^{1-\varepsilon}}$$ где $\varepsilon>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поведение решения ДУ
Сообщение30.01.2019, 12:30 
Аватара пользователя


18/11/13
134
B@R5uk в сообщении #1372842 писал(а):
Это не правда.

Я исходил из этого
$
I=\int\limits_{0}^{r}\frac{y'(x)}{1-\delta\,y(x)}\,dx=-\frac{1}{\delta}\ln|1-\delta\,y(x)|\big|_{0}^{r}
$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group