Я вернулся. Проверьте меня, пожалуйста.
Пусть

и

- полный базис

. Разложим

. Имеем

где

. Так как

и

коммутируют, то

, то есть

--- собственный вектор для

с соответствующим собственным числом или нуль. Скалярно умножим

на каждый базисный вектор

. Заметим, что

, и если

собственный, то

, а если нуль --- то нуль. Получаем тогда

откуда в сумме

все

за исключением тех, что стоят около векторов

, тождественно равных нулю. Все

равны нулю быть не могут. Следовательно, найдётся хотя бы один такой

, для которого

. Таких

не может быть больше, чем

.
Легко видеть, что меньше --- тоже не может. Предположим всё же, что их меньше. Так как

раскладывается только по таким

, то если в качестве

употребить каждый из базисных векторов в

, то эти базисные векторы обязаны быть линейно зависимы, чего быть не может. Таким образом, в

существует базис из собственных векторов

, ч. т. д.