Общий базис коммутирующих операторов

[StaticZero]

Имеется утверждение о том, что если два оператора $\hat A, \hat B$ коммутируют, то в гильбертовом пространстве существует их общий базис в том смысле, что функция $\psi$, принадлежащая этому базису, является одновременно собственной для них обоих.

В случае отсутствия вырождений утверждение тривиально. Пусть теперь есть собственное число $\lambda$ такое, что $\dim \ker (\hat B - \lambda \hat E) = n$. Выберем там функции $\psi_1, \ldots, \psi_n$ такие, что $\hat B \psi_k = \lambda \psi_k$. Из условий коммутации $\hat B(\hat A \psi_k) = \lambda (\hat A \psi_k)$. Следовательно, для любого $k$ $\hat A \psi_k \in \ker (\hat B - \lambda \hat E)$, ну и для их линейных комбинаций тоже. Следовательно, $\hat A$ не выводит из $\ker (\hat B - \lambda \hat E)$. Запишем

$$ \hat A \psi_k = \sum \limits_{i = 1}^n a_{ki} \psi_i. $$

Хотим найти базис $\varphi_1, \ldots, \varphi_n$ в $\ker (\hat B - \lambda \hat E)$ такой, что $\hat A \varphi_k = \mu \varphi_k$ и тогда будет всё доказано. Разумно искать $\varphi_k$ как линейные комбинации $\psi_k$:

$$ \varphi_k = \sum \limits_{i = 1}^n f_{ki} \psi_i. $$

Загружаем в оператор:

$$ \hat A \varphi_k = \sum \limits_{i = 1}^n f_{ki} \hat A \psi_i = \sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{j = 1}^n f_{ki} a_{ij} \psi_j = \sum \limits_{j=1}^n \psi_j \sum \limits_{i = 1}^n f_{ki}a_{ij} = \sum \limits_{j=1}^n \psi_j w_{kj}, $$

а хотелка наша тогда в том, чтобы $w_{kj} = \sum_i f_{ki} a_{ij} = \mu f_{kj}$. Отсюда на $F$ матричное уравнение $FA = \mu F$. Я на этом, собственно, и застрял. У него есть только решение $F = 0$ при произвольной $A$, но это не то...

[g______d]

StaticZero в сообщении #1355723 писал(а):

Имеется утверждение о том, что если два оператора $\hat A, \hat B$ коммутируют, то в гильбертовом пространстве существует их общий базис в том смысле, что функция $\psi$, принадлежащая этому базису, является одновременно собственной для них обоих.

Для начала нужно, наверное, предположить, что оба оператора диагонализуемы?

[StaticZero]

g______d в сообщении #1355726 писал(а):

Для начала нужно, наверное, предположить, что оба оператора диагонализуемы?

Для $\hat B$ и так предполагаем, что у него есть полный базис. Из коммутирования для $\hat A$ это не следует автоматически?

[mihaild]

С единичным оператором коммутирует что угодно, но не у всех операторов есть собственный базис.

[StaticZero]

mihaild в сообщении #1355731 писал(а):

С единичным оператором коммутирует что угодно, но не у всех операторов есть собственный базис.

Окей, протупил. Пусть тогда и для $\hat A$ известно, что у него есть полный базис. Но я не нашёл пока, как это повлияет на полученный результат

[vpb]

В квантовой механике не разбираюсь, однако, возникает вопрос: а операторы самосопряженные (эрмитовы), т.е. "наблюдаемые", или какие-то произвольные ?

Вообще, если есть конечномерное пространство, и на нем два (или даже любая совокупность) коммутирующих эрмитовых оператора, то у них есть общий собственный базис. Знакомы с таким фактом ? Да и вообще, если на конечномерном пространстве есть какое-то множество попарно коммутирующих диагонализируемых операторов, даже и не эрмитовых, то существует общий собственный базис. В физике, однако ж, пространства бесконечномерные, а операторы на них, как правило, не всюду определенные. Поэтому вопросы становятся более сложными (и это не моя область).

[vpb]

А собственно... Вы же написали сначала, что "когда нет вырождения, утверждение тривиально". Тем самым встали на "наивную" точку зрения, т.е. как бы считаете, что оператор всюду определен (а с какой стати иначе $A$ определен на собственных векторах для $B$ ?) С таким же успехом можно рассмотреть и случай, когда у $B$ все кратности конечны. Тогда, точно так же ничтоже сумняшеся, выводим, что все собственные подпространства для $B$, которые конечномерны, инвариантны относительно $A$. Ограничение $A$ на каждое такое подпространство --- самосопряженный оператор, каждый самосопряженный на конечномерном пространстве диагонализируем (это общая теорема линейной алгебры)... вуаля! (Но это всё, конечно, если я правильно понял Вашу ситуацию).

[g______d]

Я так понял, что речь шла о конечномерной ситуации. В бесконечномерном случае может быть так, что два ограниченных (и, следовательно, определённых на всём пространстве) самосопряжённых оператора коммутируют, при этом у одного из них есть собственный базис, а у другого вообще нет собственных векторов (в точном смысле этого слова).

Впрочем, легко показать (и более-менее показано выше), что если у $B$ есть собственный базис и все собственные значения конечнократны, то у любого самосопряжённого оператора, коммутирующего с $B$, можно выбрать собственный базис, общий с $B$.

В случае неограниченных самосопряжённых операторов нужно ещё точное определение коммутируемости. В частности, $AB=BA$ уже недостаточно для случая, когда один оператор ограничен, а другой нет. Обычно определяют так: два самосопряжённых оператора коммутируют, если коммутируют любые два их спектральных проектора. Это эквивалентно, например, тому что их резольвенты: $(A-\lambda I)^{-1}$ и $(B-\mu I)^{-1}$ коммутируют для любых $\lambda\notin \sigma(A)$, $\mu\notin\sigma(B)$ (в этом случае обе резольвенты являются ограниченными операторами).

Обобщение указанного утверждения на произвольные самосопряжённые операторы можно сформулировать в терминах спектральных мер: если $A=A^*$, $B=B^*$, $A$ коммутирует с $B$, то существует такая спектральная мера $E$ на $\mathbb R^2$, что

$$ A=\int\limits_{\mathbb R^2} x\,dE(x,y),\quad B=\int\limits_{\mathbb R^2}y\, dE(x,y). $$

[StaticZero]

vpb в сообщении #1355812 писал(а):

у $B$ все кратности конечны

Предполагается $n < \infty$

vpb в сообщении #1355812 писал(а):

вуаля

Вот это самое вуаля у меня не получается в лоб показать, в этом проблема. Я хочу явно вычислить коэффициенты каждой линейной комбинации векторов из $\ker (\hat B - \lambda \hat E)$, дающей собственный вектор для $\hat A$, и это не получается в том смысле, что они нули.

[mihaild]

StaticZero в сообщении #1355949 писал(а):

Я хочу явно вычислить коэффициенты каждой линейной комбинации векторов из $\ker (\hat B - \lambda \hat E)$, дающей собственный вектор для $\hat A$, и это не получается в том смысле, что они нули.

И никак хорошо не получится. Ограничение $A$ на это подпространство может оказаться вообще любым диагонализируемым оператором.

[StaticZero]

mihaild в сообщении #1355953 писал(а):

И никак хорошо не получится. Ограничение $A$ на это подпространство может оказаться вообще любым диагонализируемым оператором.

Стало быть, доказательство этого факта выходит за рамки моей базы - придется пока просто поверить. Эх.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1355831 писал(а):

Обычно определяют так: два самосопряжённых оператора коммутируют, если коммутируют любые два их спектральных проектора. Это эквивалентно, например, тому что их резольвенты коммутируют

Также эквивалентно: порожденные ими группы коммутируют. Это важно, так как именно через группы обычно придается точный смысл $[P_j,Q_k]=-i\delta_{jk}I$

[vpb]

StaticZero в сообщении #1355956 писал(а):

Стало быть, доказательство этого факта выходит за рамки моей базы - придется пока просто поверить. Эх.

Странно. Вы должны были во втором семестре самое позднее проходить тот факт, что эрмитова форма на конечномерном пространстве приводится к главным осям. И то же самое для самосопряженного оператора, что эквивалентно. Или что Вы имеете в виду ?

[vpb]

Я уточню, где это написано. См. например Беклемишев, гл.7, пар.2,3. Кострикин 2-й том, гл.3, пар.3. В Мальцеве ("Основы линейной алгебры") тоже, кажется, где-то написано. В Ефимове-Розендорне (тоже книжка годная) рассматривается только вещественный случай, соответственно симметрические операторы и приведение форм к главным осям в вещественном случае.

-- 23.11.2018, 07:22 --

И еще уточню. Есть два факта, тесно связанных. В вещественном случае так: (1) квадратичная форма приводится к главным осям, (2) для любого симметрического оператора его собственные значения вещественны, и существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов. Обычно, сначала доказывается (2), а (1) отсюда выводится. Это уж вы по любому должны были учить. А в комплексном случае в учебниках обычно доказывается факт, аналогичный (2), а факт соответствующий (1) (т.е. то, что если есть две эрмитовы формы на одном и том же пространстве, причем, одна из них положительно определенная, тогда есть базис, ортогональный относительно обоих форм), обычно как-то заминается и может отсутствовать (и как правило таки и отсутствует). Собственно, он Вам и не особо нужен. В этом смысле, мое предыдущее сообщение не вполне верно.

[StaticZero]

vpb, кажется, я понял, что мне тут хотят сказать уважаемые участники, включая вас.

Два оператора коммутируют и эрмитовы -> если у одного есть полный базис, то будет и у другого -> если для второго гарантируется существование полного базиса, то в каждом собственном подпространстве одного оператора второй можно диагонализовать как душе угодно

верно?