2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определение непрерывного отображения топологических простран
Сообщение24.01.2019, 14:53 


24/01/19
2
Помогите пожалуйста разрешить диссонанс между интуицией, связанной с конкретным примером и формальным определением.

Определение:
Отображение $f:X\mapsto Y$ топологического пространства $(X,{\mathcal {T}}_{X}) $ в топологическое пространство ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})} $ называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:

$\forall V\in {\mathcal  {T}}_{Y}\quad f^{{-1}}(V)\in {\mathcal  {T}}_{X}.$

Пример:
Отрезок X с обычной топологией отрезка, переходит в область Y гомеоморфную кругу с обычной топологией плоскости, индуцированной её пересечением с данной областью, как показано на рисунке.
Изображение
Интуитивно сложно сказать что отображение не является непрерывным. Однако у открытой области V нет прообраза в X, более того ни у какой открытой области в Y нет ни одного прообраза в X.
Конечно если рассматривать индуцированную топологию полученную пересечением образа X, f(X) с областью Y то все в порядке для любого открытого $V_I$ найдется отрытый прообраз в X.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение непрерывного отображения топологических простран
Сообщение24.01.2019, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Выпишите явно определение прообраза и, пользуясь им, найдите прообраз $Y$ относительно $f$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение непрерывного отображения топологических простран
Сообщение24.01.2019, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
razorNeko в сообщении #1371407 писал(а):
называется непрерывным, если прообраз любого открытого
Полный прообраз, если быть совсем аккуратным.

razorNeko в сообщении #1371407 писал(а):
Однако у открытой области V нет прообраза в X
Не совсем понял. Судя по рисунку, полным прообразом является какой-то интервал.

А вообще, полный прообраз может быть и пустым множеством, которое, как известно, открыто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение непрерывного отображения топологических простран
Сообщение24.01.2019, 16:17 


24/01/19
2
Спасибо разобрался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group