Помогите пожалуйста разрешить диссонанс между интуицией, связанной с конкретным примером и формальным определением.
Определение:
Отображение
топологического пространства
в топологическое пространство
называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:
Пример:
Отрезок X с обычной топологией отрезка, переходит в область Y гомеоморфную кругу с обычной топологией плоскости, индуцированной её пересечением с данной областью, как показано на рисунке.
Интуитивно сложно сказать что отображение не является непрерывным. Однако у открытой области V нет прообраза в X, более того ни у какой открытой области в Y нет ни одного прообраза в X.
Конечно если рассматривать индуцированную топологию полученную пересечением образа X, f(X) с областью Y то все в порядке для любого открытого
найдется отрытый прообраз в X.