Определение непрерывного отображения топологических простран

[razorNeko]

Помогите пожалуйста разрешить диссонанс между интуицией, связанной с конкретным примером и формальным определением.

Определение:
Отображение $f:X\mapsto Y$ топологического пространства $(X,{\mathcal {T}}_{X}) $ в топологическое пространство ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})} $ называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:

$\forall V\in {\mathcal {T}}_{Y}\quad f^{{-1}}(V)\in {\mathcal {T}}_{X}.$

Пример:
Отрезок X с обычной топологией отрезка, переходит в область Y гомеоморфную кругу с обычной топологией плоскости, индуцированной её пересечением с данной областью, как показано на рисунке.

Интуитивно сложно сказать что отображение не является непрерывным. Однако у открытой области V нет прообраза в X, более того ни у какой открытой области в Y нет ни одного прообраза в X.
Конечно если рассматривать индуцированную топологию полученную пересечением образа X, f(X) с областью Y то все в порядке для любого открытого $V_I$ найдется отрытый прообраз в X.

[mihaild]

Выпишите явно определение прообраза и, пользуясь им, найдите прообраз $Y$ относительно $f$.

[Someone]

razorNeko в сообщении #1371407 писал(а):

называется непрерывным, если прообраз любого открытого

Полный прообраз, если быть совсем аккуратным.

razorNeko в сообщении #1371407 писал(а):

Однако у открытой области V нет прообраза в X

Не совсем понял. Судя по рисунку, полным прообразом является какой-то интервал.

А вообще, полный прообраз может быть и пустым множеством, которое, как известно, открыто.

[razorNeko]

Спасибо разобрался.