2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определение непрерывного отображения топологических простран
Сообщение24.01.2019, 14:53 
Помогите пожалуйста разрешить диссонанс между интуицией, связанной с конкретным примером и формальным определением.

Определение:
Отображение $f:X\mapsto Y$ топологического пространства $(X,{\mathcal {T}}_{X}) $ в топологическое пространство ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})} $ называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:

$\forall V\in {\mathcal  {T}}_{Y}\quad f^{{-1}}(V)\in {\mathcal  {T}}_{X}.$

Пример:
Отрезок X с обычной топологией отрезка, переходит в область Y гомеоморфную кругу с обычной топологией плоскости, индуцированной её пересечением с данной областью, как показано на рисунке.
Изображение
Интуитивно сложно сказать что отображение не является непрерывным. Однако у открытой области V нет прообраза в X, более того ни у какой открытой области в Y нет ни одного прообраза в X.
Конечно если рассматривать индуцированную топологию полученную пересечением образа X, f(X) с областью Y то все в порядке для любого открытого $V_I$ найдется отрытый прообраз в X.

 
 
 
 Re: Определение непрерывного отображения топологических простран
Сообщение24.01.2019, 15:06 
Аватара пользователя
Выпишите явно определение прообраза и, пользуясь им, найдите прообраз $Y$ относительно $f$.

 
 
 
 Re: Определение непрерывного отображения топологических простран
Сообщение24.01.2019, 15:07 
Аватара пользователя
razorNeko в сообщении #1371407 писал(а):
называется непрерывным, если прообраз любого открытого
Полный прообраз, если быть совсем аккуратным.

razorNeko в сообщении #1371407 писал(а):
Однако у открытой области V нет прообраза в X
Не совсем понял. Судя по рисунку, полным прообразом является какой-то интервал.

А вообще, полный прообраз может быть и пустым множеством, которое, как известно, открыто.

 
 
 
 Re: Определение непрерывного отображения топологических простран
Сообщение24.01.2019, 16:17 
Спасибо разобрался.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group