Помогите пожалуйста разрешить диссонанс между интуицией, связанной с конкретным примером и формальным определением.
Определение:
Отображение

топологического пространства

в топологическое пространство

называется непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:

Пример:
Отрезок X с обычной топологией отрезка, переходит в область Y гомеоморфную кругу с обычной топологией плоскости, индуцированной её пересечением с данной областью, как показано на рисунке.

Интуитивно сложно сказать что отображение не является непрерывным. Однако у открытой области V нет прообраза в X, более того ни у какой открытой области в Y нет ни одного прообраза в X.
Конечно если рассматривать индуцированную топологию полученную пересечением образа X, f(X) с областью Y то все в порядке для любого открытого

найдется отрытый прообраз в X.