Дифференциальное уравнение в классе обобщенных функций

[Tiberium]

Читаю про обобщенные функции в книге Шилова. Решается следующая задача: $y' = 0$.

Понятно, что нужно показать: $y = C (C = const)$:

1) $\varphi_0 {(x)} = \varphi_1' (x)$ тогда и только тогда, когда $ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}{\varphi_0 (x)dx = 0}$

2) Учитывая (1):
$\varphi_1 (x) = \int\limits_{-\infty}^{x}{\varphi_0 (t)dt}$

3) Пусть теперь $\varphi_1 (x)$ фиксированная основная функция, при этом:
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi_1(x)dx = 1$

4) Для любой $\varphi(x)$ можно написать следующее равенство:
$\varphi(x) = \varphi_1(x)\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)dx + \varphi_0 (x)$ где $\varphi_0(x)$, очевидно, удовлетворяет (1).

Не могу понять, откуда взялось равенство 4. Вроде, похоже на простое интегрирование по частям, но там ведь по-другому получается. Буду благодарен, если кто-то поможет мне разобраться.

[thething]

Подробное решение этой задачи изложено у Колмогорова и Фомина, в параграфе 4 четвертой главы, теорема 1.

[Tiberium]

thething в сообщении #1370590 писал(а):

Подробное решение этой задачи изложено у Колмогорова и Фомина, в параграфе 4 четвертой главы, теорема 1.

Большое спасибо! Надо было сразу туда заглянуть. Вроде, все и так было понятно, но на не совсем удачных обозначениях споткнулся.

[thething]

Ну, если то, что Вы написали -- это полное доказательство, без пояснений про ядра функционалов, коразмерность и иже с ними, то неудивительно, что было непонятно.

[Tiberium]

thething в сообщении #1370595 писал(а):

Ну, если то, что Вы написали -- это полное доказательство, без пояснений про ядра функционалов, коразмерность и иже с ними, то неудивительно, что было непонятно.

Один момент все-таки мне показался неочевидным. Следуя определениям в книге Колмогорова и Фомина:

Любую основную функцию можно $\varphi \in K$ можно представить в виде $\varphi = \varphi_1 + c\varphi_0, \varphi_1 \in K^{(1)}$, а $\varphi_0$ - некоторая фиксированная основная функция, не принадлежащая $K^{(1)}$ и удовлетворяющая условию $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi_0(x)dx = 1$

Теперь положим $c = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)dx$

$\varphi_1(x) = \varphi(x) - c\varphi_0(x)$

Дальше говорится, что достаточно задать значение функционала $y$ на основной функции $\varphi_0$, чтобы однозначно задать сам $y$. Предполагаем, что $(y,\varphi_0) = \alpha$ и получаем:

$(y,\varphi) = (y,\varphi_1) + c(y,\varphi_0) = \alpha \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi_(x)dx$

А что насчет $(y,\varphi_1)$? Разве значение этого функционала знать не нужно?

UPD: Вопрос снимается. Забыл, что вообще-то решалось уравнение $y' = 0$, а $\varphi_1(x) = -\varphi'(x)$