Норма функционала в C[0,1]

[hollo]

В $C[0,1]$ найти норму $f(x)=\int\limits_{0}^{0.5}x(t)dt - \int\limits_{0.125}^{0.5}x(2t)dt$
Начал с оценки. Cделал замену $ \tau = 2t $ и получил $\int\limits_{0}^{0.5}x(t) dt - \int\limits_{0.25}^{1} \frac{1}{2} x( \tau) d \tau$. Далее $\frac{1}{2} \left\lVert x \right\rVert - (\frac{1}{2} \left\lVert x \right\rVert (1-0,25))$ и получил, что $\left\lVert f \right\rVert \leqslant \frac{1}{8}$
Далее нужно подобрать функцию $f(x)$, чтобы $\frac{\left\lvert f(x) \right\rvert}{\left\lVert x \right\rVert}= \frac{1}{8}$. С этим есть проблемы. Решил взять что-то такое:

$$\begin{cases} nx,&\text{если $x \in [0,\frac{1}{n}]$;}\\ 1,&\text{если $x \in [\frac{1}{n},0.125]$;}\\ \frac{0.5-x}{0.375},&\text{если $x \in [0.125,0.5]$.} \end{cases}$$

Подходит ли такая функция?

[thething]

hollo в сообщении #1370147 писал(а):

получил $\int\limits_{0}^{0.5}x(t) dt - \int\limits_{0.25}^{1} \frac{1}{2} x( \tau) d \tau$

Вот давайте с этого места. Перепишите полученный функционал так, чтобы промежутки интегрирования не имели никаких пересечений (кроме крайних точек, конечно). Затем распишите оценку $\left\lvert f(x)\right\rvert$.

[hollo]

thething
$\int\limits_{0}^{0.125} x(t) dt + \int\limits_{0.125}^{0.5} (x(t)-x(2t)) dt=0.125 \left\lVert x \right\rVert + 0.375 \left\lVert x\right\rVert - 0.25 \left\lVert x \right\rVert = 0.25 \left\lVert x \right\rVert$ и $\left\lvert f(x)\right\rvert \leqslant 0.25$?

[thething]

Ещё раз

hollo в сообщении #1370147 писал(а):

получил $\int\limits_{0}^{0.5}x(t) dt - \int\limits_{0.25}^{1} \frac{1}{2} x( \tau) d \tau$

Вот с этим и работайте. В первую очередь разбивайте на интегралы с непересекающимися промежутками интегрирования, а потом подробно распишите оценку.

[hollo]

thething в сообщении #1370153 писал(а):

разбивайте на интегралы с непересекающимися промежутками интегрирования

Не понимаю зачем. А что потом делать с промежутком пересечения?

$\int\limits_{0}^{0.25}x(t) - \int\limits_{0.5}^{1} \frac{1}{2} x ( \tau) d \tau$ Так?

[thething]

hollo в сообщении #1370211 писал(а):

Не понимаю зачем

Хотя бы затем, чтобы получить правильный ответ.

hollo в сообщении #1370211 писал(а):

$\int\limits_{0}^{0.25}x(t) - \int\limits_{0.5}^{1} \frac{1}{2} x ( \tau) d \tau$ Так?

Нет, не так. В итоге должно получиться три интеграла, а чтобы их получить, не стесняйтесь разбивать оба исходных интеграла, используя аддитивность.

[hollo]

thething
$\int\limits_{0}^{0.25} x(t) dt + \int\limits_{0.25}^{0.5} \frac{1}{2} (x(t) - x( \tau)) d \tau + \int\limits_{0.5}^{1} \frac{1}{2} x ( \tau) d \tau = 0.25 \left\lVert x \right\rVert + 0.25 \left\lVert x \right\rVert + 0.25 \left\lVert x \right\rVert$

[Dan B-Yallay]

По какой переменной идёт интегрирование во втором интеграле и откуда в нем взялась 1/2 перед $x(t)$?

[hollo]

Dan B-Yallay
Если честно, то я не могу ответить на этот вопрос. $x(t)$ интегрируется по $dt$, а $x( \tau)$ по $d \tau$. Плохо представляю как сделать так, чтобы две эти функции были под одним знаком интеграла.(если делать замену, то пределы интегрирования изменятся)

[Mikhail_K]

hollo в сообщении #1370398 писал(а):

$x(t)$ интегрируется по $dt$, а $x( \tau)$ по $d \tau$. Плохо представляю как сделать так, чтобы две эти функции были под одним знаком интеграла.

А разве это две разные функции? Разве это не одна и та же функция $x$? Разве значения этой функции (а значит, и интеграл от неё по тому или иному отрезку) зависят от того, какой буковкой, $t$ или $\tau$, Вы обозначите её аргумент?

Кстати, это довольно распространённое непонимание. Запомните: нет никакой "функции $x(t)$" или "функции $x(\tau)$". Есть одна функция $x$, которая каждому аргументу из отрезка $[0,1]$ ставит в соответствие какое-то значение. Например, аргументу $t$ ставит в соответствие значение $x(t)$, аргументу $\tau$ - значение $x(\tau)$, аргументу $0.5$ - значение $x(0.5)$.

Запомните ещё: интеграл берётся от функции по отрезку. Например, обозначение $\int\limits_a^b f(t)dt$ означает интеграл от функции $f$ по отрезку $[a,b]$; буква $t$ в этой записи присутствует только для удобства, но ни от какого $t$ значение интеграла не зависит. Только от функции $f$ и от отрезка $[a,b]$.

Переменная интегрирования - это просто буковка, на значение интеграла она не влияет. Ну, вспомните хотя бы геометрический смысл интеграла. Зависит ли площадь под графиком функции от того, как мы назовём её аргумент - $t$, $\tau$ или вообще $\zeta$?

[thething]

hollo
Если вас смущают разные обозначения переменной в интегралах, и Вы умеете делать замены переменной, то и сделайте замену во втором интеграле $\tau=t$. Никакие пределы интегрирования при этом не поменяются, при такой-то замене (хотя лучше, конечно, просто понимать, что от обозначения переменной интеграл не зависит и переобозначать ее как угодно).

Если с буквами разобрались, то разбейте всё-таки оба интеграла на части. У Вас там должны будут получиться два подобных интеграла, которые сложатся и ещё два. Можете подробно расписывать, чтоб было видно, где именно Вы не понимаете этот момент.

[hollo]

$\int\limits_{0}^{0.5}x(t) dt - \int\limits_{0.25}^{1} \frac{1}{2} x( \tau) d \tau = \int\limits_{0}^{0.25} x(t) dt + \int\limits_{0.25}^{0.5} x(t) dt - \int\limits_{0.25}^{0.5} \frac{1}{2} x(t) dt - \int\limits_{0.5}^{1} \frac{1}{2} x(t) dt \leqslant * $
(Если сложить второй и третий интеграл,то получится $\int\limits_{0.25}^{0.5} \frac{3}{2} x $)

$ * \leqslant 0.25 \left\lVert x \right\rVert + 0.375 \left\lVert x \right\rVert + 0.25 \left\lVert x \right\rVert \leqslant 0.875 \left\lVert x \right\rVert$

[thething]

hollo в сообщении #1370476 писал(а):

Если сложить второй и третий интеграл,то получится $\int\limits_{0.25}^{0.5} \frac{3}{2} x $

А если всё-таки повнимательнее присмотреться и понять, что там не сложение...

Но Вы уже на верном пути. Теперь подробно распишите оценку $\left\lvert f(x)\right\rvert$. В таком виде, как сейчас, это неприемлемо.

[hollo]

thething
Может быть так?
$\int\limits_{0}^{0.25} x(t) dt + \int\limits_{0.25}^{0.5} \frac{1}{2} x(t) - \int\limits_{0.5}^{1} \frac{1}{2} x(t) dt \leqslant \int\limits_{0}^{0.25} \left\lVert x \right\rVert dt + \int\limits_{0.25}^{0.5} \frac{1}{2} \left\lVert x \right\rVert dt + \int\limits_{0.5}^{1} \frac{1}{2} \left\lVert x \right\rVert dt = 0.25 \left\lVert x \right\rVert + 0.125 \left\lVert x \right\rVert + 0,25 \left\lVert x \right\rVert = 0.625 \left\lVert x \right\rVert$

[thething]

Так-то оно так, но я не об этом просил. Вот переход от первого выражения ко второму (с нормами) у Вас не обоснован. Неужели Вы ни разу не делали оценок с модулями: модуль суммы не превосходит сумму модулей, модуль интеграла не превосходит интеграла модуля? Типа такого: $\left\lvert\int\limits_{a}^{b}x(t)dt\right\rvert\leqslant\int\limits_{a}^{b}\left\lvert x(t)\right\rvert dt\leqslant\int\limits_{a}^{b}\left\lVert x\right\rVert dt$? Вот примерно в таком ключе надо оформлять этот шаг (предварительно оценив модуль суммы, естественно, так и исчезает знак минус).

Ну и дальше остаётся подобрать последовательность, на которой в пределе получится $0,625$.