Кольцо, нить

[Munin]

Да, это в принципе изоморфно моему решению, но не в точности совпадает с ним. Не вводится странного векторного поля $\vec{A}_{(2d)}$ с туманной интерпретацией.

[Munin]

Munin в сообщении #1369438 писал(а):

Ещё красиво то, что задача решается "в два хода":
1. Сначала мы рассматриваем "кольцо в поле нити", замечаем, что поле нити есть решение двумерного Лапласа $\Delta_2 u=0,$ и ответ на задачу - "кольцо в поле нити в 2-мерной электростатике".
2. Потом уже в 2-мерном пространстве применяем 3-й закон Ньютона, и решаем задачу "нить (точка) в поле кольца". А поле кольца нам известно, и решение очевидно.

Итак. Распишу достаточно подробно, как EUgeneUS.

Уравнения электростатики: $\Delta\varphi=-\operatorname{div}(-\operatorname{grad}\varphi)=-\operatorname{div}\vec{E}=-4\pi\rho,$ решение этого уравнения подчиняется принципу суперпозиции: $\varphi(\rho_1+\rho_2)=\varphi_1+\varphi_2.$ В области без зарядов $\Delta\varphi=0,$ решение этого уравнения - гармоническая функция, некоторые решения известны. $\vec{F}=q\vec{E}.$

1. Рассмотрим силу, действующую со стороны нити на кольцо. Это означает, что надо найти $\varphi_{\text{нити}},$ созданный нитью, и дальше $\vec{F}=\int_{\text{кольцо}}\vec{E}_{\text{нити}}dq=-\int_{\text{кольцо}}(\operatorname{grad}\varphi_{\text{нити}})\sigma_{\text{кольца}}dl.$

2. Замечаем, что решение задачи п. 1 совпадает с решением такой задачи 2-мерной электростатики:

Найти силу взаимодействия точечного заряда и равномерно заряженного кольца.
$\Delta_2\varphi_2=-\operatorname{div}_2(-\operatorname{grad}_2\varphi_2)=-\operatorname{div}_2\vec{E}_2=-4\pi\rho,$
$\vec{F}=q\vec{E}_2.$
Плотность заряда кольца совпадает с плотностью заряда кольца в 3-мерной задаче. Величина точечного заряда связана через теорему Гаусса с плотностью заряда нити в 3-мерной задаче.

При этом, чтобы были равны силы, требуется, чтобы $\varphi_{2\,\text{точки}}=\varphi_{3\,\text{нити}}(\forall z),$ что выполняется в силу симметрии по $z$ изначальной задачи уравнения Лапласа для нити в 3-мерной электростатике.

3. Применяем 3-й закон Ньютона, и получаем, что нам требуется найти в 2-мерной электростатике силу, действующую со стороны кольца на точечный заряд (бывшую нить). Для этого надо найти $\varphi_{2\,\text{кольца}},$ и дальше $\vec{F}=-q_{2\,\text{точки}}\operatorname{grad}_2\varphi_{2\,\text{кольца}}.$

4. $\varphi_{2\,\text{кольца}}$ известен: $\mathrm{const}$ внутри кольца, и логарифм снаружи. Соответственно, и $\operatorname{grad}_2\varphi_{2\,\text{кольца}}$ тоже известен: внутри кольца 0, снаружи $\sim 1/r.$ Коэффициент опять-таки подгоняется через теорему Гаусса.

Итого, я обошёлся скалярными функциями и величинами с ясным физическим смыслом.

[wrest]

Ясный? При том, что кроме закона Кулона, 3 закона Ньютона и теоремы Фалеса тут ничего не надо, что ж...

[EUgeneUS]

wrest
Так распишите так же подрбно решение с "теоремой Фалеса", и сравним.

[Munin]

Кстати, задача обобщается на $n$-мерное пространство, с $k$-мерным кольцом и $(n-k)$-мерной нитью.

Я подумал, не получится ли так же посчитать взаимодействие нити и сферы, но увы, там какой-то непростой интеграл (хоть и берущийся).

[wrest]

EUgeneUS
Так я ж расписывал.

Поле нити: post1369361.html#p1369361
Сила, действующая на кольцо со стороны этого поля: post1369343.html#p1369343

[Munin]

Что-то решения не видно.

[wrest]

Munin в сообщении #1369724 писал(а):

Что-то решения не видно.

Сила действующая на кольцо в поле нити -- это 1:1 рассуждения Ньютона о гравитации внутри и снаружи шарового слоя\сферы, зачем их переписывать?

Поле нити тоже элементарно.

[dovlato]

Можно вместо кольца взять взять любое осесимметричное тело, с осью, параллельной нити. Для многих из них интегралы берутся без особых трудов, если представить их как "систему колец".

[Munin]

wrest в сообщении #1369748 писал(а):

зачем их переписывать?

Чтобы убедиться в том, что вы на это способны.

dovlato в сообщении #1369758 писал(а):

Можно вместо кольца взять взять любое осесимметричное тело, с осью, параллельной нити. Для многих из них интегралы берутся без особых трудов, если представить их как "систему колец".

Да, у меня была такая же мысль, но вот как предугадать, для каких тел интегралы будут красивыми?

[dovlato]

Задним числом понял, как это можно делать.
Пусть тело конечных размеров несёт на себе осесимметрично распределенный заряд.
Возьмём соосную с телом бесконечную цилиндрическую поверхность радиуса $r$.
Пусть внутри этой поверхности оказывается заряд тела $q(r)$.
Поток поля через эту поверхность равен (извиняюсь, меня учили в СИ)

$$q(r)/\varepsilon_0=\int\limits_{-\infty}^\infty 2\pi E_r(y)dy $$

Пусть нить с постоянной линейной плотностью $\lambda$ вся находится в этой цилиндрической поверхности. Сила взаимодействия нити с телом

$$f=\lambda\int\limits_{-\infty}^\infty E_r(y)dy$$

Откуда

$$f=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\frac{q(r)}r$$

В частности, если радиус кольца $r_0<r$, и заряжено с линейной плотностью $\lambda_0$, то

$$f_c=\frac{\lambda_0\lambda}{\varepsilon_0r}$$

[StaticZero]

dovlato в сообщении #1369913 писал(а):

Откуда

Да, кстати, откуда там $r$ взялось? Совмещением двух равенств не получается.

[dovlato]

Прошу прощения, пропустил $r$ в первом интеграле

$$q(r)/\varepsilon_0=\int\limits_{-\infty}^{\infty} 2\pi r E_r(y)dy $$

Дальше по тексту.

[Igrickiy(senior)]

dovlato в сообщении #1369913 писал(а):

Пусть тело конечных размеров несёт на себе осесимметрично распределенный заряд.

В этом случае не злоупотребляйте интегралами. Это только на бумаге внешне симпатично.

[dovlato]

Серьёзно? Найдите поток без них.