Кольцо, нить

[DimaM]

Munin в сообщении #1369580 писал(а):

Тут надо аккуратно различать в разговоре задачу кольца в трёхмерном пространстве и кольца в двумерном пространстве (в двумерном уравнении Лапласа).

Сохраняем авторскую постановку - кольцо и нить.
"Кольцо в двумерном пространстве" - это помянутый выше бесконечный цилиндр.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1369584 писал(а):

"Кольцо в двумерном пространстве" - это помянутый выше бесконечный цилиндр.

У этого цилиндра нулевая плотность заряда и конечный суммарный заряд. А у нити конечная плотность заряда и бесконечный полный заряд. То есть это объекты сильно разной природы, и введение цилиндра больше запутывает (последнее - это ИМХО, оценочное суждение ;)).

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1369594 писал(а):

У этого цилиндра нулевая плотность заряда и конечный суммарный заряд. А у нити конечная плотность заряда и бесконечный полный заряд. То есть это объекты сильно разной природы, и введение цилиндра больше запутывает (последнее - это ИМХО, оценочное суждение ;)).

Так цилиндр не вместо нити, а вместо кольца. "Двумерное кольцо" - это именно цилиндр с конечной поверхностной плотностью заряда.
Я согласен с вами, что цилиндр - это другая задача, равно как и двумерный вариант.

[EUgeneUS]

DimaM

Это я понимаю. Не понимаю, зачем он нужен вместо кольца.

[DimaM]

EUgeneUS в сообщении #1369599 писал(а):

Это я понимаю. Не понимаю, зачем он нужен вместо кольца.

Я отредактировал сообщение, прошу прощения.
Цилиндр я привел как иллюстрацию к двумерной задаче, которая не совпадает с исходной.

[Munin]

wrest в сообщении #1369556 писал(а):

Шаг в сторону все разрушает: допустим теперь, что ось кольца не параллельна нити.

Да, верно, но тогда задача становится скучно-расчётной и без красивых приёмов упрощения. Не олимпиадной.

-- 18.01.2019 14:55:47 --

DimaM в сообщении #1369584 писал(а):

"Кольцо в двумерном пространстве" - это помянутый выше бесконечный цилиндр.

Либо кольцо в плоскости кольца в поле нити.

-- 18.01.2019 14:56:58 --

dovlato
А если кольцо поворачивается на малый угол, то какой возникает механический момент силы? Или это задача без красоты?

[wrest]

Munin в сообщении #1369609 писал(а):

Да, верно, но тогда задача становится скучно-расчётной и без красивых приёмов упрощения. Не олимпиадной.

А что в этом случае понимают под "силой взаимодействия нити и кольца"?

[DimaM]

Munin в сообщении #1369609 писал(а):

Либо кольцо в плоскости кольца в поле нити.

Нет. Поле кольца в плоскости кольца отличается от поля двумерного кольца.

[Munin]

DimaM в сообщении #1369618 писал(а):

Нет. Поле кольца в плоскости кольца отличается от поля двумерного кольца.

Я знаю. Сосредоточьтесь. Речь о поле нити, а не о поле кольца. Нить создаёт такое же поле, что и в двумерном уравнении Лапласа.

[DimaM]

Munin в сообщении #1369634 писал(а):

Речь о поле нити, а не о поле кольца. Нить создаёт такое же поле, что и в двумерном уравнении Лапласа.

В процитированном фрагменте, на который я отвечал, явно и недвусмысленно говорится про поле кольца.

[EUgeneUS]

DimaM в сообщении #1369618 писал(а):

Нет. Поле кольца в плоскости кольца отличается от поля двумерного кольца.

Так в этом вся прелесть!

1. Рассмотрим для простоты не кольцо, а точечный заряд (который взаимодействует с нитью).
2. Электрическое поле точечного заряда бездивергентно в 3D, но в 2D (в плоскости, перпендикулярной нити) дивергенция (двумерная) не равна нулю.
3. Но мы строим в 2D такое поле точечного заряда, которое в 2D бездивергентно - оно будет действовать не на заряды, а на нити с равномерной плотностью зарядов. И оно, конечно, не будет являться электрическим. Сила взаимодействия между зарядом и нитью будет выражаться произведением напряженности этого поля на линейную плотность заряда нити.
4. И тут же получаем все плюшки от 2D-аналога теоремы Гаусса: и то, что внутри кольца это поле нулевое, и что вне кольца оно убывает, как $\frac{1}{r}$.
5. Осталось только найти множитель перед $\frac{1}{r}$. Он находится из силы, действующей на точечный заряд со стороны нити.

[Munin]

DimaM в сообщении #1369635 писал(а):

В процитированном фрагменте, на который я отвечал, явно и недвусмысленно говорится про поле кольца.

Там говорится про "поле двумерного кольца", так что это не так уж "явно и недвусмысленно". Надо выяснять у автора фрагмента.

Я бы понял "поле двумерного кольца" именно как поле в двумерной задаче. В отличие от, например, "плоского кольца" (полная двусмысленность).

[wrest]

EUgeneUS
Я не вижу никакой красоты-олимпиадности :( Для решения, кмк, нужно много сопровождающего текста что почему и как, почему одно эквивалентно другому и тому подобное. Когда на поверхности лежит "напальцевое" трехмерное решение.

upd. И то что такие уважаемые участники как вы, Munin и DimaM никак не можете втроем договориться о правильном переходе в двумерность и назад, этот тезис, имхо, наглядно подтверждает.

[Munin]

EUgeneUS в сообщении #1369642 писал(а):

3. Но мы строим в 2D такое поле точечного заряда, которое в 2D бездивергентно - оно будет действовать не на заряды, а на нити с равномерной плотностью зарядов. И оно, конечно, не будет являться электрическим. Сила взаимодействия между зарядом и нитью будет выражаться произведением напряженности этого поля на линейную плотность заряда нити.

Вот это не обосновано, и выглядит высосанным из пальца.

Не понимаю, почему вы не согласны с ходом решения post1369438.html#p1369438 . Там всё вполне обосновано.

[EUgeneUS]

Munin в сообщении #1369648 писал(а):

Не понимаю, почему вы не согласны с ходом решения post1369438.html#p1369438 . Там всё вполне обосновано.

Согласен. Но не понимаю:
1. Либо там то, что я пытаюсь описать сейчас.
2. Либо там то, что писал в первом ответе в топике, тогда не понимаю, как обойтись "без интегралов".

Munin в сообщении #1369648 писал(а):

Вот это не обосновано, и выглядит высосанным из пальца.

Да, тут неточность. Скорее строим поле, которое в 2D оказывается бездивергентным. Строим так:

1. Рассмотрим силу, которая действует со стороны нити на точечный заряд:

$\vec{F'} = \frac{1}{2\pi \varepsilon_0} \frac{q \sigma}{r} \vec{e'_r}$

где $\sigma$ - линейная плотность заряда нити, $\vec{e'_r}$ - единичный вектор, перпендикулярный нити в сторону заряда.

2. Из третьего закона Ньютона сила, которая действует со стороны точечного заряда на нить:
$\vec{F} = \frac{1}{2\pi \varepsilon_0} \frac{q \sigma}{r} \vec{e_r}$

$\vec{e_r}$ - единичный вектор, перпендикулярный нити от заряда к нити.

3. Переходим в 2D. Просто отбрасывается третья компонента векторов, которая тождественно равна нулю.
$\vec{F_{(2d)}} = \frac{1}{2\pi \varepsilon_0} \frac{q \sigma}{r} \vec{e_{r(2d)}}$

3. делим всё на сигму:

$\vec{A_{(2d)}} = \frac{1}{2\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r} \vec{e_{r(2d)}}$

Правая часть зависит от координат и от заряда, но в ней ничего нет про нить. Тогда мы можем сказать, что $\vec{A_{(2d)}}$ - некое двумерное векторное поле, источником которого является электрический заряд.

5. Двумерная дивергенция этого поля равна нулю. Отсюда (и двумерного аналога т. Гаусса) сразу получаем, что внутри кольца это поле равно нулю, а вне кольца это поле равно полю точечного заряда, размещенного в центре кольца (что мы уже посчитали).

6. Еще нужно сказать, что это поле линейное в 2D: поле суперпозиции зарядов равно сумме полей зарядов.