Задача на нахождение СЧ частицы в заданном потенциале

[Leonid17]

Здравствуйте, так получилось, что курс классической механики в большинстве вузов (в т.ч. и моём) убрали. В связи с этим я решил основы разобрать сам, лучше поздно, чем никогда. Столкнулся с задачкой в онлайн курсе, на первый взгляд она проста, но ответ получить не могу, может тут мне объяснят, что я делаю не так.

Имеется потенциал:

$$V(x) = V\cos(kx)-Fx$$

необходимо найти $w^2$. До этого в курсе показывалось, что для этого достаточно привести Лагранжиан

$$L = \frac{1}{2}m\dot{x}-U(x)$$

к виду

$$L = \frac{1}{2}m\dot{x}-\frac{1}{2}Kx^2$$

разложив потенциал в точке минимума в ряд Тейлора до второго порядка. Отсюда $w^2 = K/m$.
Для начала я нашёл точку минимума $x_0 = -\frac{1}{k}\arcsin(\frac{F}{Vk})$. Разложим $V(x)$ в ряд Тейлора в точке минимума с учётом того, что член первого порядка равен 0:

$$V(x) = V(1-\frac{1}{2}k^2x_0^2(x-x_0)^2)$$

Уже здесь возникает проблема с тем, что перед $K$ стоит плюс, не могу понять, в чём проблема.
перейдя $x'=x-x_0$ и сместим систему координат так, чтоб $V$ было в нуле получим

$$L = \frac{1}{2}m\dot{x'}+\frac{1}{2}\frac{V\arcsin^2(\frac{F}{Vk})}{m}x'^2 $$

[StaticZero]

Leonid17 в сообщении #1369933 писал(а):

$V(x) = V(1-\frac{1}{2}k^2x_0^2(x-x_0)^2)$.

Вот это место распишите подробнее, вдруг и ошибочка найдётся...

-- 19.01.2019 в 13:14 --

Для начала надо хотя бы убрать разгильдяйство в обозначениях. Для потенциальной энергии букву возьмите другую, скажем, $U$ и запишите $U(x)$, потом аккуратно дифференцируйте...

[EUgeneUS]

Leonid17
Какой знак у второй производной в точке минимума? А Вы что написали?

[Munin]

К слову сказать, там бесконечно много минимумов, правда, все они одинаковы.

[Leonid17]

StaticZero в сообщении #1369936 писал(а):

Leonid17 в сообщении #1369933 писал(а):

$V(x) = V(1-\frac{1}{2}k^2x_0^2(x-x_0)^2)$.

Вот это место распишите подробнее, вдруг и ошибочка найдётся...

$$V(\cos(kx))=V(1-\frac{k^2(x-x_0)^2}{2!}+\frac{k^4(x-x_0)^4}{4!}+...)$$

Разложение в ряд Тейлора, членами больше второго порядка пренебрегаем. Я понял, к чему вы клоните и что я неправильно написал, однако знак при этом всё равно "-", а ответ не подходит, даже если бы был "+". Да и вообще тогда в принципе не понятно, зачем я нахожу $x_0$, как и то, как влияет член $-Fx$ в потенциале.

-- 19.01.2019, 16:33 --

EUgeneUS в сообщении #1369943 писал(а):

Leonid17
Какой знак у второй производной в точке минимума? А Вы что написали?

Не совсем понимаю, к чему вы клоните. Какая вторая производная в точке минимума? Я только один брал, но даже так там бы был "-".

-- 19.01.2019, 17:38 --

Дорогие друзья, я понял свою ошибку. Точку минимума я нашёл правильно. Но сам потенциал нельзя раскладывать так, как это сделал я. После того, как я разложил его "в лоб", получилось что-то такое:

$$U(x) = U_0(1-\frac{1}{2}k^2\cos(kx_0)(x-x_0)^2)$$

Если подставить во второй член $x_0$ и перейти к $x'=x-x_0$, то получим

$$0.5Vk^2\sqrt{1-\frac{F^2}{k^2V^2}}x'^2$$

Если разделить это на $0.5m$, то получим правильный ответ, однако опять же не совсем понимаю, куда пропадает минус (или откуда берётся). Ведь, если подставить в Лагранжиан разложенный потенциал, то перед квадратичным членом будет стоять плюс.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 19.01.2019, 18:40 --

Leonid17 в сообщении #1369973 писал(а):

Дорогие друзья, я понял свою ошибку. Точку минимума я нашёл правильно.

Вы так думаете?

Условие равенства нулю первой производной - это необходимое условие для минимума, но не достаточное. Посмотрев на вид функции потенциала, можно заметить, что в окрестности $x=0$ она (при положительных значениях констант) убывает, так что первый экстремум слева от этой точки, наверное, все-таки не минимум...

[Leonid17]

Pphantom в сообщении #1369997 писал(а):

осмотрев на вид функции потенциала, можно заметить, что в окрестности $x=0$ она (при положительных значениях констант) убывает, так что первый экстремум слева от этой точки, наверное, все-таки не минимум...

Ах, ну да! То есть следующий экстремум будет через $\pi$, а отсюда из косинуса вылезет минус.