2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на нахождение СЧ частицы в заданном потенциале
Сообщение19.01.2019, 13:01 


30/10/18
17
Здравствуйте, так получилось, что курс классической механики в большинстве вузов (в т.ч. и моём) убрали. В связи с этим я решил основы разобрать сам, лучше поздно, чем никогда. Столкнулся с задачкой в онлайн курсе, на первый взгляд она проста, но ответ получить не могу, может тут мне объяснят, что я делаю не так.

Имеется потенциал:
$$V(x) = V\cos(kx)-Fx$$необходимо найти $w^2$. До этого в курсе показывалось, что для этого достаточно привести Лагранжиан $$L = \frac{1}{2}m\dot{x}-U(x)$$ к виду $$L = \frac{1}{2}m\dot{x}-\frac{1}{2}Kx^2$$ разложив потенциал в точке минимума в ряд Тейлора до второго порядка. Отсюда $w^2 = K/m$.
Для начала я нашёл точку минимума $x_0 = -\frac{1}{k}\arcsin(\frac{F}{Vk})$. Разложим $V(x)$ в ряд Тейлора в точке минимума с учётом того, что член первого порядка равен 0:
$$V(x) = V(1-\frac{1}{2}k^2x_0^2(x-x_0)^2)$$ Уже здесь возникает проблема с тем, что перед $K$ стоит плюс, не могу понять, в чём проблема.
перейдя $x'=x-x_0$ и сместим систему координат так, чтоб $V$ было в нуле получим $$L = \frac{1}{2}m\dot{x'}+\frac{1}{2}\frac{V\arcsin^2(\frac{F}{Vk})}{m}x'^2 $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица в потенциале
Сообщение19.01.2019, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
1812
/dev/zero
Leonid17 в сообщении #1369933 писал(а):
$V(x) = V(1-\frac{1}{2}k^2x_0^2(x-x_0)^2)$.

Вот это место распишите подробнее, вдруг и ошибочка найдётся...

-- 19.01.2019 в 13:14 --

Для начала надо хотя бы убрать разгильдяйство в обозначениях. Для потенциальной энергии букву возьмите другую, скажем, $U$ и запишите $U(x)$, потом аккуратно дифференцируйте...

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица в потенциале
Сообщение19.01.2019, 13:52 
Аватара пользователя


11/12/16
8266
уездный город Н
Leonid17
Какой знак у второй производной в точке минимума? А Вы что написали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица в потенциале
Сообщение19.01.2019, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
К слову сказать, там бесконечно много минимумов, правда, все они одинаковы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица в потенциале
Сообщение19.01.2019, 16:31 


30/10/18
17
StaticZero в сообщении #1369936 писал(а):
Leonid17 в сообщении #1369933 писал(а):
$V(x) = V(1-\frac{1}{2}k^2x_0^2(x-x_0)^2)$.

Вот это место распишите подробнее, вдруг и ошибочка найдётся...


$$V(\cos(kx))=V(1-\frac{k^2(x-x_0)^2}{2!}+\frac{k^4(x-x_0)^4}{4!}+...)$$
Разложение в ряд Тейлора, членами больше второго порядка пренебрегаем. Я понял, к чему вы клоните и что я неправильно написал, однако знак при этом всё равно "-", а ответ не подходит, даже если бы был "+". Да и вообще тогда в принципе не понятно, зачем я нахожу $x_0$, как и то, как влияет член $-Fx$ в потенциале.

-- 19.01.2019, 16:33 --

EUgeneUS в сообщении #1369943 писал(а):
Leonid17
Какой знак у второй производной в точке минимума? А Вы что написали?


Не совсем понимаю, к чему вы клоните. Какая вторая производная в точке минимума? Я только один брал, но даже так там бы был "-".

-- 19.01.2019, 17:38 --

Дорогие друзья, я понял свою ошибку. Точку минимума я нашёл правильно. Но сам потенциал нельзя раскладывать так, как это сделал я. После того, как я разложил его "в лоб", получилось что-то такое:
$$U(x) = U_0(1-\frac{1}{2}k^2\cos(kx_0)(x-x_0)^2)$$ Если подставить во второй член $x_0$ и перейти к $x'=x-x_0$, то получим $$0.5Vk^2\sqrt{1-\frac{F^2}{k^2V^2}}x'^2$$ Если разделить это на $0.5m$, то получим правильный ответ, однако опять же не совсем понимаю, куда пропадает минус (или откуда берётся). Ведь, если подставить в Лагранжиан разложенный потенциал, то перед квадратичным членом будет стоять плюс.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.01.2019, 17:07 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
21979
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.01.2019, 18:29 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
21979
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»


-- 19.01.2019, 18:40 --

Leonid17 в сообщении #1369973 писал(а):
Дорогие друзья, я понял свою ошибку. Точку минимума я нашёл правильно.
Вы так думаете? :wink:

Условие равенства нулю первой производной - это необходимое условие для минимума, но не достаточное. Посмотрев на вид функции потенциала, можно заметить, что в окрестности $x=0$ она (при положительных значениях констант) убывает, так что первый экстремум слева от этой точки, наверное, все-таки не минимум... :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на нахождение СЧ частицы в заданном потенциале
Сообщение19.01.2019, 19:04 


30/10/18
17
Pphantom в сообщении #1369997 писал(а):
осмотрев на вид функции потенциала, можно заметить, что в окрестности $x=0$ она (при положительных значениях констант) убывает, так что первый экстремум слева от этой точки, наверное, все-таки не минимум... :mrgreen:


Ах, ну да! То есть следующий экстремум будет через $\pi$, а отсюда из косинуса вылезет минус.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group