2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение18.01.2019, 23:45 
Заслуженный участник


20/08/14
11787
Россия, Москва
wrest
Насчёт изначального вопроса, как кривая Пеано может не содержаться в последовательности приближений к ней, я со средней школы помню способ задания иррационального числа $\sqrt3$ как предела (это принципиально важное слово!) при $n\to+\infty$ рациональных последовательностей$$\frac{\left\lfloor10^n\sqrt3\right\rfloor}{10^n} \le \sqrt3 \le \frac{\left\lceil10^n\sqrt3\right\rceil}{10^n}$$при этом сам $\sqrt3$ очевидно ни в левой ни в правой последовательности не содержится (ни при каком конечном $n$ равенство не наступает).
С кривой Пеано аналогично, только последовательность (приближённых кривых) одна, но отличия приближения от самой кривой в пределе равны нулю, что формулой и записал mihaild.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение18.01.2019, 23:56 


05/09/16
12070
Dmitriy40
То, что предел последовательности может быть равен какому-то числу, и то что число можно определить как предел какой-то последовательности, у меня ни возражений ни непонимания не вызывает.
То что число $e$ можно определить как предел последовательности -- все в порядке, можно. Не вижу никаких противоречий или нестыковок. Даже слово "определить" содержит корень "предел" :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение18.01.2019, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9156
Цюрих
На stackexchange есть явная формула. Пусть $q_j$ - $j$-й разряд нашего числа по основанию $4$. Пусть $e_{kj}$ - число цифр $k$ до $j$-го разряда, а $d_j = e_{0j} + e_{3j} \mod 2$.
Тогда образ $q$ относительно кривой Гильберта это $\sum\limits_{j=1}^\infty \frac{(-1)^{e_{0j}}}{2^j} \operatorname{sign}(q_j) C_{1-d_jq_j}^{(1-d_j)q_j - 1}$.
(за что купил - за то продаю; формулу, надеюсь, переписал правильно, но не думал над ней)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение19.01.2019, 00:03 


05/09/16
12070
mihaild
Круто, спасибо за ссылку!

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение19.01.2019, 00:13 
Заслуженный участник


20/08/14
11787
Россия, Москва

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1369814 писал(а):
То, что предел последовательности может быть равен какому-то числу, и то что число можно определить как предел какой-то последовательности, у меня ни возражений ни непонимания не вызывает.
Тогда непонятно почему существование иррациональных чисел вопросов не вызывает, а существование кривой Пеано, заданной примерно теми же средствами и методами - вопросы вызывает. Или я упустил и все уже согласились что она существует и даже заполняет весь квадрат? ;-) Не отвечайте. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение19.01.2019, 00:27 


05/09/16
12070
Кривая Пеано везде непрерывная и нигде не гладкая, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение19.01.2019, 00:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9156
Цюрих
wrest в сообщении #1369840 писал(а):
Кривая Пеано везде непрерывная
Да, по определению.
wrest в сообщении #1369840 писал(а):
и нигде не гладкая
Зависит от конкретной конструкции. В принципе ничего не мешает сделать кривую, которая первую половину отрезка отображает в $0$, а второй замащивает квадрат - тогда получим гладкую на половине отрезка кривую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение19.01.2019, 00:44 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Рассмотрим последовательность множеств $M_k$, задаваемых следующими формулами:
$$M_0=\{1\}$$$${{M}_{k+1}}=\left\{ \left. \frac{a}{2},\frac{a+1}{2} \right|\forall a\in {{M}_{k}} \right\}$$
Вопрос, что мы получим в качестве предельного множества?
$$\widehat{M}=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{M}_{k}}$$
Будет ли это сплошной отрезок $[0,1]$ или же множество чисел вида $n/2^k$, принадлежащих этому отрезку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение19.01.2019, 00:48 


05/09/16
12070
B@R5uk в сообщении #1369849 писал(а):
Вопрос, что мы получим в качестве предельного множества?

Наверное, зависит от того, насколько велика та бесконечность, к которой стремится $k$ :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение19.01.2019, 01:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
B@R5uk в сообщении #1369849 писал(а):
$$\widehat{M}=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{M}_{k}}$$
Э-э-э… Что бы это могло означать?

P.S. Предел пишется \lim\limits_{k\to\infty}: $\lim\limits_{k\to\infty}$. В выключной формуле команда \limits не обязательна: $$\lim_{k\to\infty}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение19.01.2019, 01:50 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Ну и до кучи ещё такая последовательность множеств:
$$N_0=\{1\}$$ $${N_{k+1}}=\left\{ \left. \frac{a}{3},\frac{a+1}{3},\frac{a+2}{3} \right|\forall a\in {N_k} \right\}$$ $$\widehat{N}=\lim_{k\to\infty}N_k$$
Думаю, очевидно, что $\widehat{M}\ne\widehat{N}$ и что отрезок $\left[0,1\right]$ является замыканием обоих множеств, но при этом ни одно из трёх друг с другом не совпадает.

Это к вопросу о том, то предельные точки предельного множества и само предельное множество — вещи разные.

То, что кривая Пеано $P$ плотно заполняет квадрат $S$ означает лишь, что $\forall$ точки $A\in S$ и $\forall\varepsilon>0$ существует такая точка $B\in P$ что расстояние $|AB|<\varepsilon$. Но это далеко не означает, что $\forall$ точки $A\in S$ существует такая точка $B\in P$ что расстояние $|AB|=0$, как мне тут пытаются упорно доказать на этих двух страницах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение19.01.2019, 01:54 


20/03/14
12041
 !  wrest
Замечание за бессодержательное сообщение post1369851.html#p1369851

 i  B@R5uk
Вас спросили, что Вы подразумеваете под пределом последовательности указанных множеств. Пожалуйста, ответьте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение19.01.2019, 01:59 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Lia
Меня спросили, если я не ошибаюсь, что за ерунду пишет мой редактор формул в Тех-коде формулы. Отвечаю: без понятия, формула выглядит как надо, поэтому я даже не задумываюсь в тонкостях и в рациональности кода этой формулы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение19.01.2019, 02:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9156
Цюрих
B@R5uk, вас спросили, что значит $\lim\limits_{k\to \infty} M_k = M$. Напишите определение - без этого мы дальше никуда не уедем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая Пеано существует или нет?
Сообщение19.01.2019, 02:09 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Я не могу дать вам этого определения. Я не знаю, как ещё правильно записывать "предел последовательности множеств", поэтому записал так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group