Кривая Пеано существует или нет?

[demolishka]

B@R5uk в сообщении #1369747 писал(а):

она сплошь заполняет квадрат, то есть проходит сколь угодно близко к любой из точек квадрата.

Как же у Вас кривая, будучи образом отрезка - компактным и, в частности, замкнутым множеством - может быть всюду плотным в квадрате и не совпадать с ним?

Если не верите в Пеано, то есть такой факт: канторово множество можно непрерывно сюръективно отобразить на любой метрический компакт. По теореме Титца-Урысона можно продолжать отображения $f: A \subset X \to [0,1]$. Ну так отсюда следует, что отрезок можно хоть на тысячемерный куб отобразить.

[mihaild]

Geen в сообщении #1369761 писал(а):

Несколько раз

Вроде же один?

B@R5uk в сообщении #1369764 писал(а):

А можно теперь это математически выразить?

Для $n$-го шага возьмем квадрат со стороной $2^{-n}$ и левым нижним углом вида $(a 2^{-n}, b 2^{-n})$, в который попала эта точка (такой всегда есть и он единственен). Возьмем прообраз этого квадрата относительно кривой, которая была на $n$-м шаге - это отрезок длины $2^{-2n}$, обозначим его $(x_n, y_n)$. Если внимательно посмотреть на построение кривой (поля слишком узки чтобы это сделать тут) - можно заметить, что $x_n \leqslant x_{n + 1} < y_{n+1} \leqslant y_n$. Т.е. мы имеем убывающую последовательность вложенных отрезков. В их пересечении есть ровно одна точка. Вопрос - куда эту точку отображает наша итоговая кривая? С учетом того, что $n$-я кривая отображает ее в точку на расстоянии не больше $2^{-n} \cdot 2$ от вашей.

[B@R5uk]

demolishka в сообщении #1369767 писал(а):

Как же у Вас кривая, будучи образом отрезка - компактным и, в частности, замкнутым множеством

Кривая Пеано не является замкнутым множеством. Точно так же как множество рациональных чисел не является замкнутым. Контрпример я уже указал, точка с координатами

$$\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

[Dmitriy40]

По моему тут непонимание в другом: хотя все построенные кривые на каждом конечном шаге проходят лишь через рациональные точки, но предел этих кривых, т.е. сама кривая Пеано, вовсе не обязана проходить лишь по рациональным точкам. Как и предел последовательности рациональных чисел не обязан быть строго рациональным.
Т.е. не надо отождествлять метод построения (приближения к кривой) и саму кривую после предельного перехода.

[Geen]

mihaild в сообщении #1369769 писал(а):

Вроде же один?

Наверное это зависит (для указанной точки) от конкретного варианта, но кратные точки всё равно будут.
(но, что-то плохо соображается, вероятно для указанной точки как-раз один раз...)

[B@R5uk]

mihaild, вы мне доказываете, что кривая Пеано сколь угодно близко проходит вблизи любой точки. Я это и так знаю и с этим не спорю. Однако, "проходит сколь угодно близко" и "проходит через" — это, как говорят в Одессе, две большие разницы.

-- 18.01.2019, 23:11 --

Dmitriy40 в сообщении #1369776 писал(а):

Т.е. не надо отождествлять метод построения (приближения к кривой) и саму кривую после предельного перехода.

Хмммммм. А может вы и правы...

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1369776 писал(а):

Т.е. не надо отождествлять метод построения (приближения к кривой) и саму кривую после предельного перехода.

Возвращаю вас к первому посту. Последовательность $a_n=1/n$ имеет пределом ноль. (предел равен нолю). Но никакой член последовательности нолю не равен. График функции $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ не пересекает ось $x$ несмотря на существование предела в нуле.

Dmitriy40 в сообщении #1369776 писал(а):

Т.е. не надо отождествлять метод построения (приближения к кривой) и саму кривую после предельного перехода.

Вы имхо совершаете ту же ошибку (и то же непонимание), что и я

[Geen]

wrest в сообщении #1369785 писал(а):

Но никакой член последовательности нолю не равен.

То есть "ноля" не существует?...

[wrest]

Geen в сообщении #1369786 писал(а):

То есть "ноля" не существует?...

Не понял, как можно сделать такой вывод... Ноль (и нуль) существует, но не является членом последовательности $a_n=1/n$.

[Dmitriy40]

wrest
Я именно это и говорю, что предел последовательности может не содержаться в самой последовательности.
А тут последние сообщения спор идёт лишь о построении приближения к кривой (которое действительно ни при каком конечном $n$ не проходит через иррациональные точки), но не о самой кривой (Пеано).
Если Вам непонятно как задать кривую предельным переходом из другой кривой - это другой вопрос, например можно зажать кривую между двумя другими неограниченно сходящимися (и с одинаковыми пределами). Ну и отвечал я скорее лишь B@R5uk.

wrest в сообщении #1369785 писал(а):

График функции $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ не пересекает ось $x$ несмотря на существование предела в нуле.

Пересекает, в точках $x=\pm\pi k,\; 0<k\in\mathbb{Z}$.

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1369778 писал(а):

вы мне доказываете, что кривая Пеано сколь угодно близко проходит вблизи любой точки

Нет. Кривая Пеано $f$ и есть предел наших ломаных $f_n$. И т.к. $\lim_{n \to \infty} \|f_n(a) - \vec p\| = 0$, то $f(a) = \vec p$.

[venco]

Geen в сообщении #1369777 писал(а):

mihaild в сообщении #1369769 писал(а):

Вроде же один?

Наверное это зависит (для указанной точки) от конкретного варианта, но кратные точки всё равно будут.
(но, что-то плохо соображается, вероятно для указанной точки как-раз один раз...)

Вроде, у кривой Пеано кратными являются только троично-рациональные точки. А у кривой Гильберта - двоично-рациональные.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1369788 писал(а):

Пересекает, в точках $x=\pm\pi k,\; 0<k\in\mathbb{Z}$.

Сорри. Ось $y$ конечно

-- 18.01.2019, 23:36 --

А можно ли как-то посчитать что куда попадает? Ну вот ноль отображается на $(0;0)$, а $1$ отображается на $(1;1)$.

[mihaild]

wrest в сообщении #1369796 писал(а):

А можно ли как-то посчитать что куда попадает?

Теоретически можно. В варианте Гильберта наверное проще всего - аккуратно выписываете нумерацию квадратов на каждом шаге и смотрите, в квадрат с каким номером попадает точка.
На практике там получается неприятная нумерация квадратов, и скорее всего подобрать точку, для которой эта последовательность номеров явно выписывается, будет сложно.

[Geen]

(Оффтоп)

venco в сообщении #1369794 писал(а):

Вроде, у кривой Пеано кратными являются только троично-рациональные точки. А у кривой Гильберта - двоично-рациональные.

Туплю. Отвечу не скоро. И не факт, что правильно
Но вычислить прообраз всё равно было бы интересно