А зачем? Приближенная теория в принципе нековариантная.
С чего бы это?
Например, физическое явление известное под названим
"слабые гравитационные волны" описывается общековариантными теориями симметричного тензорного поля второго ранга

с квадратичными лагранжианами среди которых наиболее успешна теория с лагранжианом Паули-Фирца. Именно этой теории принадлежит экспериментально проверенная формула Эйнштейна 1918 года про энергию уносимою
"слабыми гравитационными волнами".
SergeyGubanov
Физика связанная с преобразованиями Лоренца, является хорошо проверенной экспериментально. В качестве приближения слабого поля была выбрана метрика (1я ф-ла в п.4), которая также хорошо проверена в пределах слабой гравитации, там где рассматриваются малые величины первого порядка, и она удобна для применения преобразований Лоренца.
По-отдельности всё верно говорите, но в сочетании друг с другом оно не работает. Преобразования Лоренца можно применять только в Лоренц-инвариантных теориях. Общековариантные преобразования можно применять только в общековариантных теориях. Когда Вы взяли испорченное решение Шварцшильда вместо точного решения, то Вы мгновенно лишились общей ковариантности, а Лоренц-инвариантности там как не было так и не появилось.
Бывают решения, приближенные к вакуумным.
"Какие Ваши доказательства?" (С) Вот только не к вакумным. Покомпонентно делим левую и правую части уравнений

на ненулевую левую часть и получаем для каждой компоненты проблему

, как Вы собираетесь её избежать?
Зачем нужна общековариантная теория "слабой гравитации", когда есть общековариантная теория гравитации в общем случае. Рассматривается поправки, следующие из этой теории к Ньоютоновской гравитации, которая, как известно, не является ковариантной.
Тут опять по-отдельности всё верно, а дьявол в деталях - Вы ж стали делать преобразования Лоренца как раз там, где не имели права их делать.
"Рабинович, Вы или крестик снимите, или трусы наденьте!" (C)Метрика Пенлеве отличается от метрики Шварцшильда и я не знаю, дает ли она, например, отклонение света в поле гравитации, то же, что и метрика Шварцшильда.
Метрика Пенлеве эквивалентна метрике Шварцшильда, и отличается от неё лишь сдвигом начала отсчёта времени

.