2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.
Сообщение16.11.2018, 20:19 


04/01/10
165
Интересует мнение о предлагаемом подходе к динамике частиц и если кто найдет ошибку, буду благодарен.


1.Динамика частиц в общем виде

В общей теории относительности рассматривается четырехмерное псевдориманово пространство-время с координатами $x^{i}$ и метрическими коэффициентами $g_{ij}$, интервал в котором записывается в виде
$$ds^{2} =g_{ij} dx^{i} dx^{j}. $$ Рассмотрим динамику материальной частицы. Запишем вначале уравнения движения в общем виде. Лагранжиан материальной частицы с массой покоя m следующий
$$L=cm\sqrt{g_{ij} u^{i} u^{j} } ,\,\, (1)$$
где $u^{i} =dx^{i} /ds$ - вектор 4-скорости частицы. Обобщенные импульсы будут
$$p_{i} =\frac{\partial L}{\partial u^{i} } =cmu_{i} . \,\,(2)$$
С физическими энергией и импульсами частицы следует связывать контравариантные импульсы
$$p^{j} =g^{ji} p_{i} =cmu^{i} .$$
Будем полагать $x^{i} =(ct,x^{2} ,x^{3} ,x^{4} )$ , где $c$ - скорость света, $t$ - время и $x^{k}, k=2,3,4$ – пространственные координаты. Тогда энергия $p^{1} $ будет положительной, а направление импульса $p^{k} $ будет совпадать с направлением вектора пространственной скорости.
В механике Лагранжа обобщенная сила определяется
$$F_{i} =\frac{\partial L}{\partial x^{i} } .\,\, (3)$$
С гравитационной силой будем связывать ассоциированный вектор с верхними индексами
$$F^{l} =cg^{l\lambda } F_{\lambda } =\frac{1}{2} c^{2} mg^{l\lambda } \frac{\partial g_{ij} }{\partial x^{\lambda } } u^{i} u^{j} . \,\, (4)
$$
Согласно общей теории относительности движение материальной частицы определяется уравнениями геодезической линии. Для Лагранжиана (1) они тождественны уравнениям Эйлера-Лагранжа
$$\frac{d}{ds } \frac{\partial L}{\partial u^{\lambda } } -\frac{\partial L}{\partial x^{\lambda } } =0\,\, (5)$$
С учетом выражений для обобщенных импульсов (2) и сил (3) эти уравнения переписываются в виде
$$\frac{dp_{\lambda } }{ds } -F_{\lambda } =0.                                                                                                                              
$$
Переходя в них к переменным с верхними индексами, получим
$$F^{j} =\frac{dp^{j} }{ds } +g^{j\lambda } \frac{dg_{\lambda i} }{ds } p^{i} .\,\, (6)$$
Второй член в правой части это производная вектора эффективных энергии и импульса частицы, передаваемых гравитационному полю. При рассмотрении динамики отдельной частицы этот вектор является аналогом псевдотензора, используемого в законах сохранения в тензорном виде.


2.Метрика Шварцшильда в сферических координатах

Определим пассивную гравитационную массу материальной частицы из выражения для силы, используя аналогию с ньютоновской гравитацией. Гравитационное поле сферического тела вне его источника в сферических координатах$x^{i} =(ct,r,\theta ,\varphi )$ описывается метрикой Шварцшильда
$$ds^{2} =c^{2} \left(1-\frac{\alpha }{r} \right)dt^{2} -\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)^{-1} dr^{2} -r^{2} (d\theta ^{2} +\sin ^{2} \theta d\phi ^{2} ),$$ где постоянная $$\alpha =\frac{2\gamma M}{c^{2} } $$ задается гравитационной постоянной $\gamma $ и гравитационной массой тела $M$. Получим вектор 4-скорости материальной частицы, движущейся в нем. Уравнения (5) для времени-подобного интервала при лагранжиане (1) для будут
$$\frac{d}{ds} \left[\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)u^{1} \right]=0,  \,\, (7)$$
$$\frac{d}{ds} \left(r^{2} u^{3} \right)-r^{2} \sin \theta \cos \, \theta {\kern 1pt} u^{4{\kern 1pt} 2} =0,\,\, (8);$$
$$\frac{d}{ds} \left(r^{2} \sin ^{2} \theta \, u^{4} \right)=0.\,\ ,(9)                                                                                                                   
$$
Дополнительно из выражения для метрики следует
$$\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)\, \left(u^{1} \right)^{2} -\frac{1}{\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)} \left(u^{2} \right)^{2} -r^{2} \left[\left(u^{3} \right)^{2} +\sin ^{2} \theta \, \left(u^{4} \right)^{2} \right]=1.                                                            
\,\, (10)$$
Из уравнения(7) находим
$$\frac{cdt}{ds} =\eta \left(1-\frac{\alpha }{r} \right)^{-1} ,\,\, (11)                                                                                                                      
$$
где $\eta $ - постоянная. Выберем систему координат так, что движение частицы происходит в плоскости $\theta =\frac{\pi }{2} $, что дает
$$\frac{d\theta }{ds} =0.\,\, (12)$$
Тогда (9) приносит
$$\frac{d\varphi }{ds} =\frac{A}{r^{2} } ,                                                                                                                                   
\,\, (13)$$
где $A$ - постоянная. Подставляя (7)-(9) в (10), получаем
$$\frac{dr}{ds} =\pm \sqrt{\eta ^{2} -\left(1+\frac{A^{2} }{r^{2} } \right)\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)} .  \,\, (14)                                                                                               
$$
Деление этого уравнения на (11) дает
$$\dot{r}=\pm c\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)\sqrt{1-\frac{1}{\eta ^{2} } \left(1+\frac{A^{2} }{r^{2} } \right)\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)} .                                                                                 
$$
Для мировых линий с неограниченным$r$ значение $\eta $ определяется из значения радиальной скорости на бесконечности $\dot{r}=V$ и составит
$$\eta =\left(1-\frac{V^{2} }{c^{2} } \right)^{-1/2} .\,\, (15)$$
Подставляя найденные компоненты вектора 4-скорости в выражение для гравитационной силы (4) находим единственную ненулевую компоненту вектора
$$ F_{s}^{2} =\frac{c^{2} m\alpha }{2r^{2} } \left(\frac{1}{2} -\frac{\eta ^{2} r}{r-\alpha } \right)+\frac{cA^{2} }{r^{3} } \left(1-\frac{\alpha }{2r} \right). 
\,\, (16)$$
При слабой гравитации, радиальном движении, $A=0$, и $\alpha /r<<V^{2} /c^{2} $ она преобразуется к виду
$$
F_{s}^{2} =-\frac{c^{2} m\alpha }{2r^{2} } \left(\frac{c^{2} +V^{2} }{c^{2} -V^{2} } \right). 
\,\, (17)$$


3.Метрика Шварцшильда в декартовых координатах


Однако при рассмотрении нерадиального движения $A\ne 0$ во избежание появления фиктивной составляющей силы, обусловленной использованием сферической системы координат, следует использовать форму метрики Шварцшильда в прямоугольных координатах $(t,x,y,z)$. К ней можно перейти с помощью преобразования
$$r=\left(1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} \right)^{2} \bar{r}\,\, (18)$$
при $\bar{r}=\sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} } ,$ которое приносит
$$ds^{2} =c^{2} \left(\frac{1-\frac{\alpha }{4\bar{r}} }{1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} } \right)^{2} dt^{2} -\left(1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} \right)^{4} (dx^{2} +dy^{2} +{\kern 1pt} dz^{2} ).\,\, (19)$$
Будем рассматривать движение в плоскости $z=0$ и искать силу, действующую на частицу, в точке $(t,x,0,0)$ , что соответствует значению угловой координаты $\phi =0$ в сферической системе отсчета. Преобразования координат в плоскости будут следующими:
$$x=\bar{r}\cos \varphi ,\quad \quad y=\bar{r}\sin \varphi .\,\, (20)$$
Ненулевые пространственные компоненты вектора 4-скорости в прямоугольной системе координат в рассматриваемой точке есть
$$u_{r}^{2} =\frac{dx}{ds } =\frac{d\bar{r}}{ds } ,\quad \quad u_{r}^{3} =\frac{dy}{ds } =\frac{d\varphi }{ds } \bar{r}.\,\, (21)$$
Из преобразования (20) следует
$$dr=\left(1-\frac{\alpha ^{2} }{16\bar{r}^{2} } \right)d\bar{r}.$$
Ввиду ковариантности уравнений геодезических можно перейти от их решений для метрики Шварцшильда в сферических координатах (11)-(14) к решению для метрики (19), сделав в них преобразование (18) и подставляя пространственные скорости в (21). В результате получим ненулевые компоненты вектора 4-скорости:
$$u_{r}^{1} =\eta \left(\frac{1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} }{1-\frac{\alpha }{4\bar{r}} } \right)^{2} , $$
$$u_{r}^{2} =\pm \frac{1}{\left(1-\frac{\alpha ^{2} }{16\bar{r}^{2} } \right)} \left[\eta ^{2} -\left(1+\frac{A^{2} }{\bar{r}^{2} \left(1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} \right)^{4} } \right)\left(\frac{1-\frac{\alpha }{4\bar{r}} }{1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} } \right)^{2} \right]^{1/2} ,                                                        
$$
$$u_{r}^{3} =\frac{A}{\bar{r}\left(1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} \right)^{4} } .                                                                                                                      
$$
Подставляя полученные компоненты вектора 4-скорости в выражение для силы (4) получаем единственную ее ненулевую компоненту
$$F_{r}^{2} =-\frac{1}{2} c^{2} m\frac{\alpha }{\overline{r^{2} }\left(1+\frac{\alpha }{4\overline{r}} \right)^{3} } \left(\eta ^{2} \left[\left(1-\frac{\alpha }{4\overline{r}} \right)^{-3} +\left(1-\frac{\alpha }{4\overline{r}} \right)^{-2} \right]-\left(1+\frac{\alpha }{4\overline{r}} \right)^{-2} \right).\,\, (22)$$
Как видим, это выражение не зависит от постоянной, которая определяется угловой скоростью. Таким образом, гравитационная сила, действующая на частицу, зависит только от расстояния от центра гравитации и величины скорости на бесконечности. Полагая гравитацию слабой и $\alpha /r<<V^{2} /c^{2}$, для частицы, движущейся по неограниченной мировой линии, с учетом (15) находим
$$F_{r}^{2} =-\frac{c^{2} m\alpha }{2r^{2} } \left(\frac{c^{2} +V^{2} }{c^{2} -V^{2} } \right),$$ что совпадает с выражением для силы в сферических координатах (17) при радиальном движении. Это уравнение дает закон гравитации Ньютона при пассивной гравитационной массе материальной частицы
$$m_{pg} =m\frac{c^{2} +V^{2} }{c^{2} -V^{2} } .\,\, (23) 
$$
Однако в общем случае ввиду нековариантности силы (4) при подстановке преобразований координат (18), (20) в формулу для силы в поле Шварцшильда в сферических координатах (16) полученное выражение не совпадет с (22). Поэтому о аналогии с ньютоновской гравитацией и постоянной гравитационной массе материальной частицы можно говорить только в пределе слабой гравитации. Приведенные в п.п. 1-3 результаты содержатся в книге В.Б. Беляев, Динамика в общей теории относительности: вариационные методы.


4.Активная гравитационная масса

При слабой гравитации метрика (19) в приближенном виде становится следующей
$$
ds^{2} =c^{2} \left(1-\frac{\alpha }{\bar{r}} \right)dt^{2} -\left(1+\frac{\alpha }{\bar{r}} \right)(dx^{2} +dy^{2} +{\kern 1pt} dz^{2} ). 
$$
Получим теперь активную гравитационную массу движущегося относительно системы отсчета $K'=(ct',x'_{}^{2} ,x'_{}^{3} ,x'_{}^{4} )$ со скоростью $v$ источника гравитации, применив к ней преобразования Лоренца
$$t=\frac{t'+\frac{v}{c^{2} } x'^{2} }{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{c^{2} } } },\,\,       x^{2} =\frac{x'^{2} +vt'}{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{c^{2} } } } ,\,\,x^{3} =x'^{3},\,\,x^{4} =x'^{4}$$
Преобразование координат при
$$\bar{r}'=\sqrt{\left(\frac{x'^{2} +vt'}{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{c^{2} } } } \right)^{2} +y'^{2} +z'^{2} } $$
приносит
$$ds^{2} =c^{2} \left(1-\frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha }{\bar{r}'} \right)dt'^{2} -\frac{4c^{2} v}{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha }{\bar{r}'} dt'dx'-\left(1+\frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha }{\bar{r}'} \right)dx'^{2} -\left(1+\frac{\alpha }{\bar{r}'} \right)(dy'^{2} +{\kern 1pt} dz'^{2} ). 
$$
Рассмотрим систему из двух тел с одинаковой массой $M$, движущихся в противоположных направлениях с одинаковыми по величине скоростями и в момент времени $t'=0$, находящимися вблизи друг друга так, что расстоянием между ними можно пренебречь. При представлении метрических коэффициентов в виде
$$
g_{ij} =\eta _{ij} +h_{ij} ,                                                                                                                              
$$
где $\eta _{ij} $ - соответствуют метрике Миньковского, в случае слабой гравитации при рассмотрении общего поля, создаваемого n системами, согласно Вайнбергу, Гравитация и Космология, величина $h_{ij}$ приближенно будет суммой$h_{ij}^{n} $. Отсюда следует, что поле рассматриваемой системы будет описываться метрикой
$$ds^{2} =c^{2} \left(1-\frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha _{1} }{\bar{r}'} \right)dt'^{2} -\left(1+\frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha _{1} }{\bar{r}'} \right)dx'^{2} -\left(1+\frac{\alpha _{1} }{\bar{r}'} \right)(dy'^{2} +{\kern 1pt} dz'^{2} ) 
$$
при $\alpha _{1} =2\alpha .$ Получим ускорение материальной частицы в момент времени, когда она покоится в системе отсчета $K'$. Уравнения геодезических следующие
$\frac{du^{i} }{ds} +\Gamma _{kl}^{i} u^{k} u^{l} =0$$, где
$$\Gamma _{ij}^{l} =\frac{1}{2} g^{lk} \left(\frac{\partial g_{jk} }{\partial x^{i} } +\frac{\partial g_{ik} }{\partial x^{j} } -\frac{\partial g_{ij} }{\partial x^{k} } \right)$$
- символы Кристоффеля. Для пространственных координат с индексами $k=2,3,4$ находим
$$\frac{du^{k} }{ds} =\frac{1}{2} g^{kk} \frac{\partial g_{11} }{\partial x^{k} } \left(u^{1} \right)^{2}.\,\, (24)$$
При домножении на коэффициент $c^{2} m$ правая часть этого выражения совпадет с гравитационной силой, получаемой из (4), так как согласно (6) неподвижная частица не передает импульс гравитационному полю: $$\frac{d\stackrel{\leftrightarrow}{p}^{k} }{ds} =g^{k\lambda } \frac{dg_{\lambda i} }{ds} p^{i} =0.$$
Уравнение (24) без учета малых величин большего порядка приносит координатные ускорения
$$\ddot{x}'=\frac{1}{2} \frac{x'}{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{c^{2} } } } \frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha _{1} }{\bar{r}'^{3} } ,                                                                                                         
$$
$$\ddot{y}'=\frac{1}{2} y'\frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha _{1} }{\bar{r}'^{3} }$$, $$\ddot{z}'=\frac{1}{2} z'\frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha _{1} }{\bar{r}'^{3} }$$.
в момент времени $t'=0$. Если пространственный радиус-вектор частицы перпендикулярен линии движения тел ($x'=0$), то полученный результат соответствует ньютоновской гравитации при активной гравитационной массе материальной частицы
$$M_{1g}^{} =M_{1} \frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } ,$$
где $M_{1} =2M$. Поскольку тела движутся прямолинейно, их скорость совпадает со скоростью на бесконечности $v=V$ и полученное значение тождественно (23). Наличие Лоренц-фактора в качестве коэффициента при координате $x'$ объясняется тем, что движение частицы рассматривается в системе отсчета, относительно которой источники гравитации движутся вдоль этой координаты вместе с создаваемым ими полем.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.11.2018, 22:21 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.11.2018, 13:42 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.
Сообщение16.01.2019, 09:56 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
piksel в сообщении #1354576 писал(а):
4.Активная гравитационная масса

При слабой гравитации метрика (19) в приближенном виде становится следующей
$$
ds^{2} =c^{2} \left(1-\frac{\alpha }{\bar{r}} \right)dt^{2} -\left(1+\frac{\alpha }{\bar{r}} \right)(dx^{2} +dy^{2} +{\kern 1pt} dz^{2} ). 
$$
Получим теперь активную гравитационную массу движущегося относительно системы отсчета $K'=(ct',x'_{}^{2} ,x'_{}^{3} ,x'_{}^{4} )$ со скоростью $v$ источника гравитации, применив к ней преобразования Лоренца
$$t=\frac{t'+\frac{v}{c^{2} } x'^{2} }{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{c^{2} } } },\,\,       x^{2} =\frac{x'^{2} +vt'}{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{c^{2} } } } ,\,\,x^{3} =x'^{3},\,\,x^{4} =x'^{4}$$
Так делать нельзя.


Точное решение:
SergeyGubanov в сообщении #1016823 писал(а):
Можно переписать решение Шварцшильда в движущеся цилиндрической системе координат:
$$
ds^2 = c^2  dt^2 - \left(d\rho -V^{\rho} dt \right)^2 - \rho^2 d\varphi^2 - \left( dz - V^z dt \right)^2,
$$
$$
V^{\rho} = \frac{\rho A}{ \left( \rho^2 + (z - z_0(t))^2 \right)^{3/4} },
$$
$$
V^z = \frac{(z - z_0(t)) A}{\left( \rho^2 + (z - z_0(t))^2 \right)^{3/4}} + \frac{dz_0(t)}{dt},
$$
$$
A = \pm \sqrt{2 k M}.
$$
В этой системе координат чёрная/белая дыра движется по траектории $\rho=0, \; \varphi = 0, \; z = z_0(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.
Сообщение16.01.2019, 15:17 


04/01/10
165
SergeyGubanov в сообщении #1369053 писал(а):
Так делать нельзя.

Почему нельзя? Преобразования координат могут быть различными. Рассматривается слабая гравитация в координатной системе отсчета и находятся поправки к Ньютоновскому закону тяготения. Преобразования Лоренца здесь вполне применимы.
SergeyGubanov в сообщении #1369053 писал(а):
Точное решение:

В приведенной вами метрике есть движение не только вдоль цилиндрической оси, но и вдоль радиальной координаты. Условия, которые вы задали: $\rho=0, \; \varphi = 0, \; z = z_0(t)$, не имеют смысла, поскольку дают сингулярность:
$ds^2 = c^2  dt^2 - \frac {A^2}{\rho^{1/2}}dt^2.$
Я не знаю, какие преобразования координат используются для получения метрики, которую вы называете решением Шварцшильда в движущеся цилиндрической системе координат, но, возможно, если проделать все без ошибок, то в пределе слабой гравитации получится тот же результат, что и при преобразованиях Лоренца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.
Сообщение16.01.2019, 16:42 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
piksel
Хотел мелкие замечания сделать.
Лучше писать не $u^2$, а $u^{(2)}$ , если у вас сверху индекс $2$ , а не степень.

Метрика (19) записана в изотропных координатах, но в прямоугольных ("декартовых") можно записать и метрику Шварцшильда в стандартном представлении и в гармоническом и в Пенлеве.
У Вайнберга они расписаны в главе $8$ ($8.2.15...$).

Далее у вас нумерация формул исчезает. И создается впечатления, что вы записали 2 метрики в разных системах отсчета, когда ось движется в одну сторону, а потом в противоположную. Нельзя складывать метрические части $h$, выделенные на фоне Минковского в разных системах отсчета. Если же это у вас 2 метрики в одной СО, то требуются пояснения, почему так. У вас их нет. И тогда перекрестные члены взаимно уничтожаются. Но наверное в слабых полях это верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.
Сообщение16.01.2019, 17:24 
Заблокирован по собственному желанию


20/07/18

367
schekn в сообщении #1369127 писал(а):
piksel
Хотел мелкие замечания сделать.
Лучше писать не $u^2$, а $u^{(2)}$ , если у вас сверху индекс $2$ , а не степень.

Так не делают. Лучше просто писать степень за скобками, если внутри величина с индексами.
piksel
В слабом приближении вы получили формулу некоторого к-та перед силой в "ньютоновском" виде, что называли "пассивной гравитационной массой", ошибок тут вроде нет.
Для "активной" - вы перешли в слабое приближение и поменяли СК с помощью ПЛ, а дальше - что-то логику не понял. Как у вас относительно движутся частица и источник, почему какая-то скорость не меняется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.
Сообщение16.01.2019, 19:02 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
piksel в сообщении #1369114 писал(а):
Почему нельзя?
Привилегия делать какие угодно преобразования координат утрачивается мгновенно как только вместо точного решения общековариантных уравнений берётся нечто "приближённое" и никаким общековариантным уравнениям не удовлетворяющее. Общая ковариантность является дискретной характеристикой, у неё нет параметра малости. В данном случае рассматривается вакуумное решение общековариантных уравнений ОТО и тензор Риччи должен быть равен нулю точно $R_{\mu \nu} = 0$. Невозможно чтобы он был равен нулю "приближённо".

Однако, конечно, допустим следующий способ. Сначала выписываются какие-то другие общековариантные уравнения вместо общековариантных уравнений ОТО. Эти другие общековариантные уравнения в каком-то смысле объявляются "приближением" к ОТО. Далее берётся точное решение этих других общековариантных уравнений. Вот с ним произвольные преобразования координат делать можно.

piksel в сообщении #1369114 писал(а):
Условия, которые вы задали: $\rho=0, \; \varphi = 0, \; z = z_0(t)$, не имеют смысла, поскольку дают сингулярность:$ds^2 = c^2  dt^2 - \frac {A^2}{\rho^{1/2}}dt^2.$
Так это и есть координаты движущейся сингулярности. Аналогично в метрике Шварцшильда $r=0$, $\theta=0$, $\varphi=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.
Сообщение16.01.2019, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Опять странные фантазии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.
Сообщение17.01.2019, 01:46 


04/01/10
165
schekn в сообщении #1369127 писал(а):
piksel
создается впечатления, что вы записали 2 метрики в разных системах отсчета, когда ось движется в одну сторону, а потом в противоположную. Нельзя складывать метрические части $h$, выделенные на фоне Минковского в разных системах отсчета. Если же это у вас 2 метрики в одной СО, то требуются пояснения, почему так. У вас их нет. И тогда перекрестные члены взаимно уничтожаются. Но наверное в слабых полях это верно.

Система отсчета, в которой рассматривается суммарная гравитация двух тел здесь одна $K'$. Тела движутся в противоположных направлениях со скоростями $v$ и $-v$. Системы координат, в которых их гравитация описывается приближенной метрикой Шварцшильда, различны, назовем их $K^+$ и $K^-$ ($K=(ct,x_{}^{2} ,x_{}^{3} ,x_{}^{4} )$). Преобразованиями Лоренца при $v$ и $-v$ метрики приводятся к общей системе отсчета $K'$.

Guvertod в сообщении #1369134 писал(а):
Для "активной" - вы перешли в слабое приближение и поменяли СК с помощью ПЛ, а дальше - что-то логику не понял. Как у вас относительно движутся частица и источник, почему какая-то скорость не меняется?

В системе отсчета $K'$ частица неподвижна, а источники движутся. Условие для скорости
piksel в сообщении #1354576 писал(а):
$\alpha /r<<V^{2} /c^{2},$
используемое при получении пассивной массы, предполагается и при рассмотрении активной. Это оставляет скорость источников гравитации приближенно постоянными и обусловлено тем, что в ОТО сумма гравитационных масс тел, разнесенных на большое расстояние, не совпадает с гравитационной массой системы, состоящей из этих тел в более локальной области. Возможно, оно лишнее. Кажется, и у Muninа в этой области было недопонимание.

SergeyGubanov в сообщении #1369158 писал(а):
piksel в сообщении #1369114 писал(а):
Почему нельзя?
Привилегия делать какие угодно преобразования координат утрачивается мгновенно как только вместо точного решения общековариантных уравнений берётся нечто "приближённое" и никаким общековариантным уравнениям не удовлетворяющее. Общая ковариантность является дискретной характеристикой, у неё нет параметра малости. В данном случае рассматривается вакуумное решение общековариантных уравнений ОТО и тензор Риччи должен быть равен нулю точно $R_{\mu \nu} = 0$. Невозможно чтобы он был равен нулю "приближённо".

Однако, конечно, допустим следующий способ. Сначала выписываются какие-то другие общековариантные уравнения вместо общековариантных уравнений ОТО. Эти другие общековариантные уравнения в каком-то смысле объявляются "приближением" к ОТО. Далее берётся точное решение этих других общековариантных уравнений. Вот с ним произвольные преобразования координат делать можно.

В принципе это подразумевается. Используемая приближенная метрика Шварцшильда в прямоугольных координатах хорошо известна, см., например, Мак-Витти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.
Сообщение17.01.2019, 17:21 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
piksel, сделать преобразование координат в точной метрике технически не сложнее чем в испорченной. Зачем для буста Вы выбрали испорченную метрику вместо точной?

А ещё, логичнее бустить чёрную (белую) дыру в метрике Пэнлеве чем в метрике Шварцшильда:$$
ds^2 = dt^2 - \left( dx - V^x dt \right)^2 - \left( dy - V^y dt \right)^2  - \left( dz - V^z dt \right)^2
$$$$
V^{i} = \pm \frac{x^i}{r} \sqrt{\frac{2 k M}{r}}
$$ У Пэнлеве трёхмерные листы $t=\operatorname{const}$ плоские, а у Шварцшильда трёхмерные листы $t=\operatorname{const}$ искривлённые. Бустить искривлённый лист пространственного распределения константным преобразованием Лоренца является операцией не имеющей физического смысла, это вроде должно быть очевидно.

Munin в сообщении #1369160 писал(а):
Опять странные фантазии.
Я про то, что приближённых вакуумных решений не бывает:
$$
R_{\mu \nu} \approx 0 \qquad \to \qquad 1 \approx 0
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.
Сообщение17.01.2019, 18:33 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
SergeyGubanov в сообщении #1369368 писал(а):
А ещё, логичнее бустить чёрную (белую) дыру в метрике Пэнлеве чем в метрике Шварцшильда:

И что у вас получится, если вы рассмотрите задачу ТС в координатах Пенлеве в слабых полях приближенно (черных дыр нет, просто 2 массивных тела)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.
Сообщение17.01.2019, 19:08 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
schekn, с учётом того, что приближённых вакуумных решений $1 \approx 0$ не бывает в принципе, мне не понятно что в вашем случае значит фраза "в слабых полях приближенно".

Сначала надо для этих "слабых полей" сформулировать какую-то общековариантную теорию "слабой гравитации", а потом найти точное решение уравнений этой "приближённой" теории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.
Сообщение17.01.2019, 21:48 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
SergeyGubanov в сообщении #1369405 писал(а):
schekn, с учётом того, что приближённых вакуумных решений $1 \approx 0$ не бывает в принципе, мне не понятно что в вашем случае значит фраза "в слабых полях приближенно".

Сначала надо для этих "слабых полей" сформулировать какую-то общековариантную теорию "слабой гравитации", а потом найти точное решение уравнений этой "приближённой" теории.

А зачем? Приближенная теория в принципе нековариантная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.
Сообщение17.01.2019, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
schekn в сообщении #1369431 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #1369405 писал(а):
schekn, с учётом того, что приближённых вакуумных решений $1 \approx 0$ не бывает в принципе, мне не понятно что в вашем случае значит фраза "в слабых полях приближенно".

Сначала надо для этих "слабых полей" сформулировать какую-то общековариантную теорию "слабой гравитации", а потом найти точное решение уравнений этой "приближённой" теории.

А зачем? Приближенная теория в принципе нековариантная.

Тогда необходимо обосновывать "применимость" преобразований Лоренца.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group