Кольцо, нить

[dovlato]

Прямая бесконечная нить перпендикулярна плоскости тонкого кольца.
Как нить, так и кольцо равномерно заряжены с единичной линейной плотностью заряда.
Отношение расстояния от нити до центра кольца к радиусу кольца равно $k$.
Найти силу их взаимодействия в зависимости от величины $k$.

[EUgeneUS]

План решения задачи:

1. Проведем ось $Ox$ в плоскости кольца через центр кольца нить.
2. Из соображений симметрии, сила между кольцом и нитью будет направлена вдоль оси $Ox$
3. Поле нити устроено просто. Записывает силу, которую оказывает нить на элемент кольца $d\vec{F}$. Берем её проекцию на $Ox$: $d(F_x)$
4. Интегрируем $d(F_x)$ по всему кольцу (по всем элементам кольца).

Считать интеграл лень. Но пока никакого подвоха и-или "олимпиадности" не вижу.
Может интеграл получится какой-то не берущийся в неопределенном виде, но считающийся в определенном?

[Igrickiy(senior)]

EUgeneUS
Все вычисления доводятся до конца без проблем. Единственный интересный момент - рассмотреть величину силы в случае, когда нить расположена внутри кольца.

[EtCetera]

Мне кажется, в этой задаче самое интересное — ответ.

(Ответ)

Если нигде не ошибся, то искомая сила взаимодействия равна 0 при $k<1$ и обратно пропорциональна $k$ при $k>1$.

Также очень интересен вопрос о том, можно ли получить ответ, не вычисляя никаких интегралов (по аналогии с задачей о равномерно заряженной сфере и точечном заряде).

[Munin]

EtCetera
Приведённый вами ответ навёл на мысль о том, что на самом деле задача - на двумерную теорию потенциала. В которой потенциал, усреднённый по окружности, равен потенциалу в её центре (если он подчиняется уравнению Лапласа). Действительно, красиво.

-- 17.01.2019 14:09:59 --

А внутри окружности потенциал нулевой, значит, окружность, охватывающая точку, не взаимодействует с ней.

-- 17.01.2019 14:18:38 --

Munin в сообщении #1369309 писал(а):

В которой потенциал, усреднённый по окружности, равен потенциалу в её центре (если он подчиняется уравнению Лапласа).

А собственно, это нам и не нужно. Достаточно взять точку в потенциале окружности (равном потенциалу её центра).

[Igrickiy(senior)]

EtCetera
Именно так и есть. О что у Вас при $k=1$ ?

[wrest]

Igrickiy(senior) в сообщении #1369318 писал(а):

Именно так и есть.

Довольно необычно если так. Ведь сила в поле нити обратно пропорциональна первой степени расстояния до неё, а не второй.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1369320 писал(а):

Довольно необычно если так. Ведь сила в поле нити обратно пропорциональна первой степени расстояния до неё, а не второй.

Но и пространство двумерное, а не трехмерное.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1369332 писал(а):

Но и пространство двумерное, а не трехмерное.

А, то есть Теорема Ньютона тут тоже катит в немного измененном виде, поскольку для сферы мы считаем площадь основания конуса которая пропорциональна квадрату расстояния, а для окружности -- длину дуги окружности, которая пропорциальна первой степени...
Ну тогда ясно. Соответственно, за границами кольца оно должно притягиваться к нити как его центр с помещенным туда всем зарядом, то есть -- обратно пропорционально первой степени расстояния от центра до нити.

[dovlato]

Ну, с интегралом всякий решит. Лучше с теоремой Гаусса.

[Igrickiy(senior)]

wrest в сообщении #1369343 писал(а):

мы считаем площадь основания конуса которая пропорциональна квадрату расстояния

Лучше так не считать, поскольку для конуса это очевидное недоразумение. Но это aparte...
По сути.
Относительно взаимодействия нити и кольца. Рациональнее найти поле двумерного кольца во внутренней и внешней областях. Внутри поля нет, вне - поле обратно пропорционально расстоянию от его центра. И в этом поле расположена нить. Никакого интегрирования. Вполне можно предложить как олимпиадный вариант.

[wrest]

dovlato в сообщении #1369359 писал(а):

Ну, с интегралом всякий решит.

А без интеграла как поле нити посчитать "на пальцах"?

А хотя в принципе также как и с плоскостью наверное, да? С плоскостью же как: в тот же телесный угол помещается заряда пропорционально квадрату расстояния, а сила убывает пропорционально квадрату расстояния следовательно поле однородное. Ну а с нитью в тот же телесный угол попадает заряда пропорционально первой степени расстояния, а сила убывает по-прежнему пропорционально второй степени, два минус один равно один, так что в итоге сила убывает пропорционально первой степени расстояния. А конкретный коэффициент нам не нужен, только степень.
Круто!

-- 17.01.2019, 17:07 --

Igrickiy(senior) в сообщении #1369360 писал(а):

Рациональнее найти поле двумерного кольца во внутренней и внешней областях.

А мне вот кажется, что намного немного рациональней найти поле нити, тем боле что оно и так всем известно. И в этом поле расположено кольцо. И прощее.

[dovlato]

Без интеграла - учесть, что сила, очевидно, не изменится, если вместо кольца поставить цилиндр того же радиуса, с осью, параллельной нити.

[Igrickiy(senior)]

wrest в сообщении #1369361 писал(а):

А мне вот кажется, что намного рациональней найти поле нити, тем боле что оно и так всем известно. И в этом поле расположено кольцо. И прощее.

Если бы речь шла только о полях кольца или нити, то никакой разницы нет, к какой ситуации применять теорему Гаусса. К кольцу или к нити. Если речь идет о нахождении силы взаимодействия, то, зная всем известное поле нити, с неизбежностью придётся поупражняться в интегрировании.

[wrest]

Igrickiy(senior) в сообщении #1369363 писал(а):

Если речь идет о нахождении силы взаимодействия, то, зная всем известное поле нити, с неизбежностью придётся поупражняться в интегрировании.

Как видите -- интегралы тут не нужны. Ну вот Ньютону они были не нужны когда он доказывал Теорему Ньютона, зачем они нам? И потом, это ведь в точности то же самое рассуждение, которое применяется вами, когда вы находите, что в кольце поле нулевое. Вы же как-то без интеграла это делаете - как?