Электроёмкость сферического сегмента

[Xmas]

"Официальная инструкция" выглядит так:
1) выбирается "сфера инверсии" разумно произвольного радиуса $R$.
2) центр сферы - это центр инверсии. Чтобы после инверсии сегмент превратился в бесконечную плоскость (с отверстием), центр инверсии должен находиться на поверхности сегмента. Ради симметрии - на его вершине.
3) центр инверсии становится началом сферической системы координат. Точки исходной поверхности и точки инвертированной поверхности преобразуются по правилам:

\[\vec{r'}=\frac{R^2\vec{r}}{r^2};\qquad\vec{r}=\frac{R^2\vec{r'}}{r'^2}\]

4) потенциалы преобразуются по правилу:

\[\varphi'\,(\vec{r'})=\frac{r}{R}\,\varphi\,(\vec{r})=\frac{R}{r'}\,\varphi\left(\frac{R^2}{r'^2}\vec{r'}\right)\]

Набор формул я проверил - всё точно, как в "инструкции", все штрихи-значки на месте.

После инверсии получится бесконечная плоскость с отверстием в центре и с неравномерным распределением потенциала.
Лично я упустил то, что появится вторая производная вдоль поверхности, а найти надо лишь первую производную по нормали. Постоянная интегрирования, которая появляется, будет, вероятно, равна нулю - чтобы получалась нулевая напряжённость при нулевом потенциале на бесконечности. Займусь проверкой.

[drug39]

Munin в сообщении #1369188 писал(а):

Там дальше ссылки ... где красивые картинки ...

Munin, зачем рекламируете лженауку. Обратите внимание, какой замечательной картинкой там вся дискуссия закончилась.

[Munin]

Не понял, в чём проблема. Поясните, пожалуйста, более развёрнуто.

[drug39]

Ну, играется там кот с графикой. А Перегудов ладушки. Потом возникает наезд: задачи то некорректны... Перегудов возмущён. - По какому праву у меня ето в огороде... Кстати, начистил он там нос многим, Вам должно быть известно. Топик-блогеру предлагается прежде чем рисовать сложные кренделя разобраться с базовой задачей 2D электростатики, задачей об уединённой проводящей полосе. И он, видно, призадумался... Не катит там его ТФКП. Вот в результате кто-то дал подходящую для темы итоговую картинку.

[Munin]

drug39 в сообщении #1369223 писал(а):

Потом возникает наезд: задачи то некорректны...

Ну, это не лженаука, это просто ошибка. А в чём некорректность?

drug39 в сообщении #1369223 писал(а):

Кстати, начистил он там нос многим, Вам должно быть известно.

Я свалил из этого гадюшника намного раньше.

[drug39]

Munin в сообщении #1369243 писал(а):

А в чём некорректность?

В такой постановке эти задачи имеют бесконечные семейства решений, а топик-блогер выдаёт якобы единственное решение. Тоже относится и к нашему топик-стартеру. Ему определиться надо, устраивает его, что задача имеет бесконечное множество решений. Если нет, то надо задачу задать корректно, чтобы решение было единственное.

[Xmas]

Ув. Munin, drug39,StaticZero и другие, кто участвует в обсуждении.

Так вышло, что "метод инверсии" не дал ожидаемых результатов. Ну, да, сегмент преобразовался в диск, зато с неравномерным потенциалом по поверхности. Так что решение от сплющенного в диск эллипсоида ему не подходит - граница не эквипотенциальная.

Буду благодарен, если поддержите дальнейшее обсуждение. Ко мне опять вернулись подозрения, что с задачей не всё так гладко. Возможно, кто-то когда-то устроил инверсию, к полученному диску применил решение ур. Лапласа для проводящего эллипсоида и преобразовал его обратно. Получилось, конечно, правдоподобно - тем более, что благодаря конформности углы сохраняются, и нормали выглядят, как нормали. После чего решение никто особо не проверял, и оно так и кочевало из издания в издание.

Возможно, конечно, что я опять забрёл не туда.

Но просьба сейчас не в этом. Подскажите, пожалуйста, на какой фотохостинг можно выложить чертёжики по этой задаче, чтобы картинки открывались. А то в первом сообщении отобразилась только 1 картинка из двух. Проблемы с хостингом, очень медленно отвечает.

[Munin]

drug39 в сообщении #1369292 писал(а):

В такой постановке эти задачи имеют бесконечные семейства решений

Я не очень врубаюсь. Что-то с постановкой не так? Что за семейство?

Не будьте столь лаконичны.

Xmas в сообщении #1369299 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, на какой фотохостинг можно выложить чертёжики по этой задаче, чтобы картинки открывались.

Я пользуюсь https://postimages.org/

[Xmas]

drug39 в сообщении #1369292 писал(а):

Munin в сообщении #1369243 писал(а):

А в чём некорректность?

Тоже относится и к нашему топик-стартеру. Ему определиться надо, устраивает его, что задача имеет бесконечное множество решений. Если нет, то надо задачу задать корректно, чтобы решение было единственное.

Бесконечное множество решений в этой задаче устраняется молчаливым предположением, что у бесконечно удалённой точки есть некоторый фиксированный потенциал (равный нулю). Другие разнообразия едва ли возможны - зарядив ёмкость до какого-либо определённого потенциала, мы образуем запас энергии $CU^2/2$. Если бы было несколько возможных решений при одном и том же потенциале - это нарушало бы законы сохранения заряда и энергии.

Munin, благодарю за ссылочку. В ближайшее время выложу чертёжики с построениями. Всё машинно-автоматическое, никакого ручного рисования.

[Mathew Rogan]

Xmas
Посмотрите книгу Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Струнский М.Г. Расчет электрической емкости (1981). Нужная формула приводится на странице 103. Вывода нет, однако сообщается, что формула получена методом пространственной инверсии. Данному методу посвящён параграф 2-3 этой книги. Может быть, это поможет.

[drug39]

Munin в сообщении #1369300 писал(а):

Я не очень врубаюсь. Что-то с постановкой не так? Что за семейство? Не будьте столь лаконичны.

Чтобы это понять, упомянутому топик-блогеру и было предложено сначала разобраться с задачей попроще. Т.е. с задачей об уединённой проводящей полосе. И он там выдал здравую мысль в виде картинки, однако до результата не довёл. У нас же тут была целая эпопея с задачей подобного типа, с задачей об уединённом заряженном проводящем отрезке. И в целом пришли к выводу, что решений бесконечное семейство. Но поняли не многие. Собственно и началось тогда обсуждение с задачи об уединённой проводящей полосе. Но не акцентировали, что озвученное сразу решение не единственное.

[Xmas]

Mathew Rogan, спасибо, книгу сейчас попробую разыскать.

По поводу пространственной инверсии всё ещё есть сомнения. Если взять известную ситуацию с равномерно заряженной сферой, и отобразить "по инструкции" точки исходного пространства (с которыми должны, по идее, совпадать линии равного потенциала и "силовые линии"), картина отображения получается неожиданная (рисунок в прищепке).

Исходная сфера внизу (тёмно-зелёная окружность и сетка координат). Вверху, вокруг зелёной линии - инверсия её координатной сетки.
Построение автоматическое, точка-в-точку по формуле из учебника.

Равномерно заряженная сфера отобразилась в бесконечную плоскость (зелёная прямая), но словно в незаряженную, а весь заряд остался в центре инверсии. Картина очень похожа на поле "заряда над плоскостью". Часть, которая выше зелёной линии - это отображение внутренности сферы. Там всё сходится к центру шара. Электрического поля, конечно, нет, это лишь координатная сетка.

Испробую ещё одну гипотезу. Вместо расчёта плотности заряда по известному потенциалу - оставить весь заряд в центре инверсии (с обратным знаком), а само тело считать незаряженным, проинвертировать и посчитать поле в такой системе.



-- 17.01.2019, 21:59 --

Формула и вправду работает. Остаётся разобраться с самим методом.

Такие результаты вызывают чувство досады. Наверное, не только у меня бывает - когда после долгих безуспешных попыток решить задачу выясняется, что решение-то было вполне простое.

[amon]

drug39 в сообщении #1369408 писал(а):

Чтобы это понять, упомянутому топик-блогеру и было предложено сначала разобраться с задачей попроще. Т.е. с задачей об уединённой проводящей полосе.

Задача о заряженной проводящей полосе, в отличии от задачи о заряженном отрезке, прекрасно решается 1001 способом. В частности, сведением к граничной задаче Гильберта. И ответ, если читать внимательно, в цитированном обсуждении есть. Так что что-то Вы там просто не поняли.

[Munin]

drug39
Послушайте, скажите явно в чём дело, мне загадки разгадывать лень. Я ещё одно сообщение от вас послушаю, а потом плюну.

[realeugene]

Xmas в сообщении #1369204 писал(а):

Чтобы после инверсии сегмент превратился в бесконечную плоскость (с отверстием), центр инверсии должен находиться на поверхности сегмента. Ради симметрии - на его вершине.

А это верно? При инверсии направления радиус-векторов не изменяются. Так каким образом лежащий по одну сторону от касательной плоскости сегмент превратится в плоскость?
Впрочем, да, это плоскость, не проходящая через начало координат. Разместив центр инверсии в диаметрально противоположной точке, можно получить как-то заряженный диск с некоторым распределением потенциала. Может быть, это распределение потенциала по радиусу диска какое-нибудь удобное?