2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение10.01.2019, 12:03 


26/08/11
1777
TR63 в сообщении #1367306 писал(а):
примет вид с учётом замены $b^{\beta+2}=y$, $b=x$

$n^2-yx^2=y^2+1$

Это уравнение Пелля (похожее было в соседней теме и решений не имело).
Это уравнение с трудом можно назвать уравнением Пелля, но даже если так, то оно имеет бесконечно много решений при бесконечно много $y$
TR63 в сообщении #1367306 писал(а):
Можно рассмотреть частный случай $\alpha-\beta=4$. Тогда уравнение

$$b^{\alpha+\beta}+b^{\alpha}+1=n^2$$

примет вид
$b^{2c}+b^{c+2}+1=n^2$, а $b^{2c}+b^{c+2}+1$ не может быть квадратом при $c\ge 4$, потому что тогда

$(2b^c+b^2-1)^2<4b^{2c}+4b^{c+2}+4<(2b^c+b^2)^2$

Случаи $c<4$ можете рассмотреть самостоятельно, если это вам очень надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение10.01.2019, 12:28 


21/11/12
707
Санкт-Петербург
TR63 в сообщении #1367306 писал(а):
$n^2-yx^2=y^2+1$
Это уравнение Пелля (похожее было в соседней теме и решений не имело).

В предыдущее, простите, не вчитывался, но тут что-то знакомое навеяло. Если бы в правой части игрек был без квадрата, получили бы
$n^2-yx^2=y+1$
$n^2-1=y(x^2+1)$ и
$y=\dfrac{n^2-1}{x^2+1}$ Такое ур. действительно имеет бесконечную серию решений, см. здесь.
Ну, а если с квадратом, переписываем его так: $x^4-2^2=(x^2+2y)^2-(2n)^2$
В любом случае есть решение $y=0,n=1$, но нули Вас не устраивают. Возьмите $x$ за аргумент и рассматривайте разности квадратов в правой части. Для любого $x>2$ их всегда есть, и всегда конечное число.
$x=3,y=15,n=19.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение10.01.2019, 17:39 


21/05/16
2397
Аделаида
y еще должен быть степенью x.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение10.01.2019, 18:46 


03/03/12
1121
Shadow в сообщении #1367392 писал(а):
а $b^{2c}+b^{c+2}+1$ не может быть квадратом при $c\ge 4$

Shadow, спасибо за, хотя и частный, но результат. Т.е. Вы рассмотрели случай, когда $\alpha+\beta=2c$ (чётное). Следовательно и разность чётная $\alpha-\beta=2c_1$. Плюс осталось исследовать $c<4$ и нечётную сумму.
Andrey A, спасибо за информацию по уравнению
$n^2-yx^2=y^2+1$.
Эта информация полезна для рассмотренной ранее соседней темы. (Т.е. выполнение указанных там свойств, возможно, существенно; там нужен контрпример при соблюдении указанных свойств.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение10.01.2019, 20:32 


26/08/11
1777
TR63 в сообщении #1367488 писал(а):
Т.е. Вы рассмотрели случай, когда $\alpha+\beta=2c$ (чётное). Следовательно и разность чётная $\alpha-\beta=2c_1$

Я рассмотрел случай, когда
TR63 в сообщении #1367306 писал(а):
Можно рассмотреть частный случай $\alpha-\beta=4$
и следовательно $\alpha+\beta=2c$ тоже четное.
Точнее, вы его рассматривали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение12.01.2019, 14:28 


03/03/12
1121
Shadow в сообщении #1367517 писал(а):
Точнее, вы его рассматривали.

У меня получилось, что
TR63 в сообщении #1366303 писал(а):
Итак, получилось, что при $\alpha_1=2$, $\alpha_1=3$ решения существуют.

Это при $b=2$.

Т.е. при $b>2$ Вашим методом не покрывается случай $b^{5+1}+b^5+1-n^2=0$. Этот случай следует рассмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение12.01.2019, 18:33 


26/08/11
1777
При $b>1$

$(8b^3+4b^2-b)^2<64(b^6+b^5+1)<(8b^3+4b^2-b+1)^2$

вот и покрыли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение12.01.2019, 19:40 


03/03/12
1121
Shadow, красиво. Спасибо.
Ещё бы выяснить что-нибудь для ($\alpha+\beta=2c+1$), $b>2$ , $\alpha>\beta$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group