Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).

[TR63]

Известно (в разделе загадок), что уравнение:

$$b^{\alpha+\beta}+b^{\alpha}+1=n^2$$

при $\alpha<\beta$ имеет решения.

Вопрос: имеет ли решения уравнение при $\alpha\ge\beta$. $(\alpha;\beta;b;n)$-натуральные положительные числа. (Задача простая, но интересна с точки зрения возможности обобщения).

[Shadow]

$2^{2k}+2^{k+1}+1=(2^k+1)^2$

[TR63]

Shadow, понятно. Спасибо.

А, если $\alpha>\beta+3$ или существует $\alpha>\beta+\alpha_1$; $\alpha_1=?$, чтобы решений не существовало.

[TR63]

Итак, получилось, что при $\alpha_1=2$, $\alpha_1=3$ решения существуют. В остальных случаях не существуют, что я доказываю с помощью одной идеи для оставшихся случаев. Если я не ошиблась с доказательством, то получилась интересная интерполяция (для меня интереснее, как объяснить её странную структуру; идея имеется ("крамольная"), но сначала надо проверить доказательство).

При $b=1$ уравнение

TR63 в сообщении #1366213 писал(а):

$$b^{\alpha+\beta}+b^{\alpha}+1=n^2$$

решения не имеет.

Рассмотрим случай $b=2$

$$2^{\alpha+\beta}+2^{\alpha}+1=n^2$$

Добавим в обе части равенства $t=2n+1=2t_1$. Получим

$t_1(t_1-1)-2^{\alpha-2}(2^{\beta}+1)=0$

1). $t_1=k\cdot2^{\alpha-2}$

$k\cdot2^{\alpha-2}=\frac{2^{\beta}+1+k}{k}$

В рассматриваемой области определения это равенство невозможно.

2). $t_1-1=k\cdot2^{\alpha-2}$

$k\cdot2^{\alpha-2}+1=\frac{2^{\beta}+1}{k}$

Здесь также решений нет.

Если на данном этапе я ошиблась, просьба указать ошибку.
Если всё-таки существует $\alpha_1$, при котором уравнение имеет решения в рассматриваемой области, просьба привести это значение.

[kotenok gav]

А какое при $\alpha_1=3$?

-- 06 янв 2019, 20:28 --

TR63 в сообщении #1366303 писал(а):

$2n+1=2t_1$.

Вы хоть сначала пишите, целые ли у вас переменные. А то не понятно, ошибка или нет.

[TR63]

TR63 в сообщении #1366213 писал(а):

имеет ли решения уравнение при $\alpha\ge\beta$. $(\alpha;\beta;b;n)$-натуральные положительные числа

kotenok gav, уточняю $\alpha_1=\alpha-\beta$; из предположения, что решение существует, следует, что $(n)$ чётное, т.е. $n=2t_1$. Значит, натуральное $t_1\ge1$.

kotenok gav в сообщении #1366322 писал(а):

А какое при $\alpha_1=3$?

$2^{4+1}+2^4+1=7^2$

[Shadow]

TR63 в сообщении #1366333 писал(а):

из предположения, что решение существует, следует, что $(n)$ чётное, т.е. $n=2t_1$.

Что за глупости???

[TR63]

Shadow в сообщении #1366335 писал(а):

Что за глупости???

Исправляю:

TR63 в сообщении #1366333 писал(а):

уточняю $\alpha_1=\alpha-\beta$; из предположения, что решение существует, следует, что $(n)$ нечётное, т.е. $n+1=2t_1$. Значит, натуральное $t_1\ge1$

-- 06.01.2019, 15:19 --

kotenok gav, здесь должно быть

TR63 в сообщении #1366303 писал(а):

Добавим в обе части равенства $2n+1$

была опечатка (прошу извинить).$n+1=t=2t_1$.

[kotenok gav]

Теперь ясно.

-- 06 янв 2019, 22:09 --

Все равно чет не сходится. Не получается следующее уравнение.

[Shadow]

kotenok gav не обращайте внимание на нечитабельность. Из

$x^{a+b}+x^a+1=(2k+1)^2$

следует $4k(k+1)=x^a(x^b+1)$

Поскольку в правой части сомножители взаимнопростые, то либо $k$, либо $k+1$ должно делится (а следовательно быть не меньше) $x^a$ (или $\dfrac{x^a}{4}$ при четном $x$)

Что при данных ограничениях невозможно - левая часть будет больше правой.

[TR63]

kotenok gav в сообщении #1366342 писал(а):

Не получается следующее уравнение.

TR63 в сообщении #1366303 писал(а):

Рассмотрим случай $b=2$

$$2^{\alpha+\beta}+2^{\alpha}+1=n^2$$

Добавим в обе части равенства $2n+1$. Получим

$t_1(t_1-1)-2^{\alpha-2}(2^{\beta}+1)=0$

1). $t_1=k\cdot2^{\alpha-2}$

$k\cdot2^{\alpha-2}=\frac{2^{\beta}+1+k}{k}$

$2^{\alpha+\beta}+2^{\alpha}+1+2n+1=n^2+2n+1$
$2^{\alpha+\beta}+2^{\alpha}+2(n+1)=(n+1)^2$
$2^{\alpha+\beta}+2^{\alpha}+2t=t^2$
$2^{\alpha+\beta}+2^{\alpha}+4t_1=4t_1^2$
$4=2^2$ Делим обе части на $4$. Получаем:

TR63 в сообщении #1366303 писал(а):

Получим

$t_1(t_1-1)-2^{\alpha-2}(2^{\beta}+1)=0$

Так получается (читабельно)?

[kotenok gav]

Ага, теперь ясно, спасибо.

[Shadow]

TR63, я выше детскую ошибку допустил. Вы можете продолжить доказательство (для $b>2$)

[TR63]

Идея, применённая к случаю $b=2$, для произвольного натурального $b>2$ у меня буксует. Нужна другая идея (имеется гипотетическая с другой, возможно, проблемой) или контрпример.

[TR63]

Можно рассмотреть частный случай $\alpha-\beta=4$. Тогда уравнение

$$b^{\alpha+\beta}+b^{\alpha}+1=n^2$$

примет вид с учётом замены $b^{\beta+2}=y$, $b=x$

$n^2-yx^2=y^2+1$

Это уравнение Пелля (похожее было в соседней теме и решений не имело).