2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение10.01.2019, 12:03 


26/08/11
1776
TR63 в сообщении #1367306 писал(а):
примет вид с учётом замены $b^{\beta+2}=y$, $b=x$

$n^2-yx^2=y^2+1$

Это уравнение Пелля (похожее было в соседней теме и решений не имело).
Это уравнение с трудом можно назвать уравнением Пелля, но даже если так, то оно имеет бесконечно много решений при бесконечно много $y$
TR63 в сообщении #1367306 писал(а):
Можно рассмотреть частный случай $\alpha-\beta=4$. Тогда уравнение

$$b^{\alpha+\beta}+b^{\alpha}+1=n^2$$

примет вид
$b^{2c}+b^{c+2}+1=n^2$, а $b^{2c}+b^{c+2}+1$ не может быть квадратом при $c\ge 4$, потому что тогда

$(2b^c+b^2-1)^2<4b^{2c}+4b^{c+2}+4<(2b^c+b^2)^2$

Случаи $c<4$ можете рассмотреть самостоятельно, если это вам очень надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение10.01.2019, 12:28 


21/11/12
707
Санкт-Петербург
TR63 в сообщении #1367306 писал(а):
$n^2-yx^2=y^2+1$
Это уравнение Пелля (похожее было в соседней теме и решений не имело).

В предыдущее, простите, не вчитывался, но тут что-то знакомое навеяло. Если бы в правой части игрек был без квадрата, получили бы
$n^2-yx^2=y+1$
$n^2-1=y(x^2+1)$ и
$y=\dfrac{n^2-1}{x^2+1}$ Такое ур. действительно имеет бесконечную серию решений, см. здесь.
Ну, а если с квадратом, переписываем его так: $x^4-2^2=(x^2+2y)^2-(2n)^2$
В любом случае есть решение $y=0,n=1$, но нули Вас не устраивают. Возьмите $x$ за аргумент и рассматривайте разности квадратов в правой части. Для любого $x>2$ их всегда есть, и всегда конечное число.
$x=3,y=15,n=19.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение10.01.2019, 17:39 


21/05/16
2390
Аделаида
y еще должен быть степенью x.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение10.01.2019, 18:46 


03/03/12
1120
Shadow в сообщении #1367392 писал(а):
а $b^{2c}+b^{c+2}+1$ не может быть квадратом при $c\ge 4$

Shadow, спасибо за, хотя и частный, но результат. Т.е. Вы рассмотрели случай, когда $\alpha+\beta=2c$ (чётное). Следовательно и разность чётная $\alpha-\beta=2c_1$. Плюс осталось исследовать $c<4$ и нечётную сумму.
Andrey A, спасибо за информацию по уравнению
$n^2-yx^2=y^2+1$.
Эта информация полезна для рассмотренной ранее соседней темы. (Т.е. выполнение указанных там свойств, возможно, существенно; там нужен контрпример при соблюдении указанных свойств.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение10.01.2019, 20:32 


26/08/11
1776
TR63 в сообщении #1367488 писал(а):
Т.е. Вы рассмотрели случай, когда $\alpha+\beta=2c$ (чётное). Следовательно и разность чётная $\alpha-\beta=2c_1$

Я рассмотрел случай, когда
TR63 в сообщении #1367306 писал(а):
Можно рассмотреть частный случай $\alpha-\beta=4$
и следовательно $\alpha+\beta=2c$ тоже четное.
Точнее, вы его рассматривали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение12.01.2019, 14:28 


03/03/12
1120
Shadow в сообщении #1367517 писал(а):
Точнее, вы его рассматривали.

У меня получилось, что
TR63 в сообщении #1366303 писал(а):
Итак, получилось, что при $\alpha_1=2$, $\alpha_1=3$ решения существуют.

Это при $b=2$.

Т.е. при $b>2$ Вашим методом не покрывается случай $b^{5+1}+b^5+1-n^2=0$. Этот случай следует рассмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение12.01.2019, 18:33 


26/08/11
1776
При $b>1$

$(8b^3+4b^2-b)^2<64(b^6+b^5+1)<(8b^3+4b^2-b+1)^2$

вот и покрыли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных положительных числах (обобщение).
Сообщение12.01.2019, 19:40 


03/03/12
1120
Shadow, красиво. Спасибо.
Ещё бы выяснить что-нибудь для ($\alpha+\beta=2c+1$), $b>2$ , $\alpha>\beta$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group